Auslander-Reiten-Köcher

für

artinsche Ringe mit Polynomidentität

Markus Schmidmeier

Auslander-Reiten-Köcher

für artinsche Ringe mit Polynomidentität

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften

der Fakultät für Mathematik der Ludwig-Maximilians-Universität München

vorgelegt von Markus Schmidmeier

aus München am 9. Januar 1996

1. Berichterstatter: Prof. Dr. W. Zimmermann 2. Berichterstatter: Prof. Dr. H.-J. Schneider Tag der mündlichen Prüfung: 29. Februar 1996 Bei Euklid hatte jemand begonnen, Geometrie zu lernen. Nach dem ersten Theorem fragte er den Meister: ”Was habe ich davon, wenn ich das lerne?“ Euklid rief seinen Sklaven: ”Gib ihm einen Groschen! Der hat es nötig, bei dem, was er lernt, nach dem Profit zu fragen.“

(nach Stobaeus)

Inhalt

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Kapitel I. Dualisieren und Transponieren von Bimoduln 11 Ringe, Moduln, Bimoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Bekanntes zum Transponieren und zur lokalen Dualität . . . . . . . . . 15 Zum Lemma von Dowbor und Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Endoendlichkeit steuert das Verhalten der lokalen Dualität . . . . . . . 24 Der Schleifenfunktor überträgt endliche Endolänge . . . . . . . . . . . 30 Das Transponieren überträgt endliche Endolänge . . . . . . . . . . . . 34

Kapitel II. Die Dichotomie-Aussagen 39 Quellen- und Senkenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Schwarze und weiße Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Schwarze und weiße Komponenten des AR-Köchers . . . . . . . . . . . 47 Komponenten mit ”grauen“ Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Zur Umkehrung des Satzes von Auslander und Ringel/Tachikawa … 58

Kapitel III. Auslander-Reiten-Köcher im erblichen Fall 61 Bimoduln irreduzibler Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Morita-Dualität und lokale Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Die Form der präprojektiven Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 70 Reguläre weiße Komponenten sind quasi-einreihig . . . . . . . . . . . . 76

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2

Einleitung

Betrachtet ein Darstellungstheoretiker Ringe, die außerhalb der Klasse der ihm vertrauten Artin-Algebren liegen, so fürchtet er vielleicht, daß mit dem Verlust an Methoden — er hat womöglich keine Selbstdualität mehr zur Verfügung oder nicht genügend viele Senkenabbildungen — eine Verschlechterung der Ergebnisse einhergeht.

In der Tat kann er aber schon bei artinschen PI-Ringen neue Phänomene, wie das Auftauchen schwarzer Moduln, beobachten und gleichzeitig mit einem verfeinerten Apparat das klassische Studium des weißen Teils der Modulkategorie betreiben.

Wir können hier nämlich zeigen, daß sich die endlich erzeugten unzerlegbaren Moduln in zwei Klassen einteilen lassen:

Satz (Dichotomiesatz für Moduln). Für einen endlich erzeugten unzerlegbaren Modul M über einem artinschen PI-Ring R sind folgende Aussagen äquivalent.

i) M ist endoendlich, d. h. M hat endliche Länge als Modul über seinem Endomorphismenring.

ii) M ist reflexiv bezüglich der lokalen Dualität.

iii) Die Homomorphismen mit Quelle M lassen sich lokal gut beschreiben: Es gibt eine Quellenabbildung M → D in ModR mit endlich erzeugtem Ziel D.

iv) Die Homomorphismen mit Ziel M lassen sich lokal gut beschreiben: Es gibt eine Senkenabbildung B → M in ModR mit endlich erzeugter Quelle B.

Die endlich erzeugten unzerlegbaren Moduln, die i) bis iv) erfüllen, wollen wir weiß, und die Moduln, die keiner dieser Bedingungen genügen, schwarz nennen.

Stellt man graphische Daten, die sich an den einzelnen Quellen- und Senkenabbildungen ablesen lassen, passend zu einem Köcher zusammen, dessen Trägermenge indR aus einer Transversale der endlich erzeugten unzerlegbaren R-Rechtsmoduln besteht, so erhält man den Auslander-Reiten-Köcher. Er verschafft uns einen guten Überblick — und bei Ringen vom endlichen Typ sogar die vollständige Kontrolle — über alle Homomorphismen in der Modulkategorie. Dieser Köcher kann aus mehreren (Zusammenhangs-)Komponenten bestehen; unser Dichotomiesatz für Komponenten sagt, daß bei artinschen PI-Ringen eine Komponente C entweder nur aus weißen oder nur aus schwarzen Moduln besteht. Wir sagen im ersten Fall, C hat AR-Folgen. Formulierung und Beweis dieser Dichotomiesätze beruhen wesentlich auf der Konstruktion von Quellen- und Senkenabbildungen im Satz von Auslander ([A4, Theorem 3.9]) mittels lokaler Dualität L und Transponieren Tr. Bekanntlich erhält L endliche Endolänge. Falls R artinscher Ring ist, überträgt Tr endliche Länge. Erfüllt R zusätzlich eine Polynomidentität, so können wir für die Moduln in indR zeigen, daß auch Tr endliche Endolänge erhält, und daß das L-Duale eines Moduls M genau dann endlich erzeugt ist, wenn M endoendlich ist. ”Die Darstellungstheorie erblicher Artin-Algebren gehört bis heute zu den am meisten untersuchten und am besten verstandenen Theorien“ ([ARS], Einleitung zu Kapitel VIII). Insbesondere kann die Form des Auslander-Reiten-Köchers besonders genau beschrieben werden. Wir werden sehen, daß einige dieser grundlegenden Aussagen über den AR-Köcher allgemeiner für den weißen Teil des AR-Köchers Γ_{R} eines erblichen artinschen PI-Rings R gelten. So können wir zeigen, daß die regulären Komponenten mit AR-Folgen quasi-einreihig sind. Das Auftreten schwarzer Moduln beeinträchtigt also nicht die Kombinatorik im weißen Teil des AR-Köchers, sondern bereichert sie um neue Varianten.

Anmerkungen zur Geschichte. Spezielle Ringe, die einer Polynomidentität genügen, wurden schon von Dehn [D, 1922] im Zusammenhang mit einem Beispiel von Hilbert zur projektiven Geometrie untersucht (vgl. [Am]). Der heutige Zugang zu PI-Ringen und erste Struktursätze gehen auf Kaplansky [Kap, 1948] zurück. Rosenberg und Zelinsky [RZ, 1959] zeigten, daß ein artinscher PI-Ring einen endlich erzeugten injektiven Kogenerator besitzt; Procesi und Small [PS, 1968] wiesen nach, daß sich die PI-Eigenschaft auf Endomorphismenringe endlich erzeugter Moduln überträgt. In der Darstellungstheorie konnten Dowbor, Ringel und Simson [DRS, 1980] die erblichen artinschen PI-Ringe vom endlichen Typ durch ihren Gabriel-Köcher klassifizieren und daraus den Auslander-Reiten-Köcher bestimmen. Im Beispiel von Zimmermann [Z3, 1988] werden für einen bestimmten erblichen artinschen PI-Ring R, der weder eine Artin-Algebra noch ein Ring vom endlichen Typ ist, die AR-Folgen in den Kategorien ModR und modR genau beschrieben. Schließlich wies Herzog [H, 1994] die Umkehrung des Satzes von Auslander und Ringel/Tachikawa für PI-Ringe nach.

Inhalt der einzelnen Kapitel und Abschnitte. Das erste Kapitel soll die lokale Dualität L und das Transponieren Tr vorstellen und ihre Wirkung auf die Moduln in indR für einen artinschen PI-Ring R untersuchen. (1) Wir beginnen mit einer Kurzeinführung in die in dieser Arbeit vorkommenden Klassen von Moduln und Ringen, wobei wir bei den Moduln insbesondere auf die Struktur über dem Endomorphismenring achten. Artinsche PI-Ringe lassen sich charakterisieren als diejenigen artinschen Ringe, deren Radikalfaktor Artin-Algebra ist. (2) Im nächsten Abschnitt findet man bekannte Sätze über das Dualisieren und Transponieren wieder. Für benötigte Aussagen, die ich nicht aus der Literatur kenne, wird ein Beweis angegeben.

(3) Zuerst soll die Dualität durchleuchtet werden. Das Lemma von Dowbor und Simson beschreibt das Dualisieren von Bimoduln, die links und rechts Vektorräume über einem Körper sind. (4) Jetzt können wir sehen, daß die lokale Dualität bei artinschen PI-Ringen schwarze und weiße Moduln trennt: Nur das L-Duale der weißen ist endlich erzeugt, nur für die weißen Moduln M ist die Auswertungsabbildung M → LLM definiert und ein Isomorphismus. Um das zu zeigen, betrachten wir einen Modul M ∈ indR als End M − R-Bimodul, zerlegen ihn in Schichten, die auf jeder Seite halbeinfach und isotypisch sind, und wenden das Lemma von Dowbor und Simson an, um die einzelnen Schichten mit Hilfe eines geeigneten Körpers, den uns die Polynomidentität verschafft, zu dualisieren. Daraus folgt auch eine Rückrichtung im Satz von Rosenberg und Zelinsky: Sei R rechtsartinscher PI-Ring. Ist ein injektiver Kogenerator Q_{R} endlich erzeugt, dann ist R schon artinsch.

(5) Wir wenden uns nun dem Transponieren zu und zeigen zunächst, daß ein beliebiger Rechtsmodul M über einem linksartinschen Ring genau dann endoendlich ist, wenn sein Radikalfaktor endliche End M-Länge hat. Dann ist mit M auch ΩM endoendlich. (6) ”Das Transponieren überträgt bei artinschen PI-Ringen endliche Endolänge.“ Zum Beweis dieser Aussage sei M ∈ indR, Q →^{p} P → M → 0 projektive Auflösung und S = End P. Wir konstruieren aus End TrM einen Unterring S̃ von \overline{S} = S/RadS. Ist TrM endoendlich, so wird gezeigt, daß \overline{S} als S̃-Rechtsmodul endliche Länge hat. Die Polynomidentität ermöglicht hier den Seitenwechsel: S̃ ist linksartinsch und \overline{S} ist als S̃-Linksmodul endlich erzeugt. Es folgt, daß M endoendlich ist.

Im zweiten Kapitel sollen die beiden Dichotomiesätze für artinsche PI-Ringe R bewiesen werden. (1) Mit den Vorbereitungen in Kapitel I haben wir die Existenz von AR-Folgen und die Frage, ob sie aus endlich erzeugten Moduln bestehen, im Griff. (2) Damit können wir den Dichotomiesatz für Moduln zeigen. Um Beispiele schwarzer Moduln zu gewinnen, parametrisieren wir die Moduln in indR mit Dimensionsvektor \binom{1}{1} über Varianten zur Kroneckeralgebra: In einem Beispiel gibt es neben den schwarzen Moduln genau zwei weiße Moduln verschiedener Endolänge; in einem anderen taucht neben den beiden weißen Moduln genau ein schwarzer auf, der dann einen zweielementigen Endomorphismenring hat.

(3) Wie verhalten sich schwarze und weiße Moduln bezüglich der Unterteilung von indR in Komponenten? Dazu passen wir die Definition des Auslander-Reiten-Köchers der Existenz von schwarzen Moduln an und zeigen den Dichotomiesatz für Komponenten. (4) Zwei Beispiele sollen zeigen, daß bei artinschen Ringen ohne Polynomidentität ”graue“ Moduln auftreten können und daß sich diese nicht — wie die schwarzen Moduln bei artinschen PI-Ringen — in Komponenten mit nur wenigen weißen Moduln isolieren lassen. (5) Abschließend führen wir einen kurzen Beweis der Umkehrung des Satzes von Auslander und Ringel/Tachikawa für linksartinsche PI-Ringe [H] vor.

Im dritten Kapitel soll der Auslander-Reiten-Köcher Γ_{R} eines erblichen artinschen PI-Rings R beschrieben werden. (1) Sei zunächst R nicht notwendig erblich. Wir zeigen im 1. Abschnitt, daß jede Komponente von Γ_{R} mit AR-Folgen homogen bewertet ist und geben ein Beispiel, daß die Bewertung des (stabilen Teils des) AR-Köchers eines Rings vom endlichen Typ, der kein PI-Ring ist, nicht homogen zu sein braucht. (2) Zur Vorbereitung der beiden folgenden Abschnitte vergleichen wir anschließend die lokale Dualität L mit der (funktoriellen) Morita-Dualität M: Insbesondere überträgt M AR-Folgen und die Komposition LM induziert einen Isomorphismus der Grothendieck-Gruppen K_{0}(modR) und K_{0}(modS), falls S zu R Morita-dual ist.

(3) Im 3. Abschnitt untersuchen wir die präprojektiven Komponenten eines erblichen artinschen PI-Rings R. Wir werden insbesondere sehen, wie sich der Typ dieser Komponenten aus der Kompositionsstruktur der unzerlegbaren projektiven R-Rechts- und R-Linksmoduln ablesen läßt. (4) Im letzten Abschnitt zeigen wir, daß die regulären weißen Komponenten C von Γ_{R} quasi-einreihig sind. Der Beweis ist auf Kombinatorik reduziert, wenn wir für einen Monomorphismus f : M → N in C gezeigt haben, daß Lä (LTr)^{n}M ≤ Lä (LTr)^{n}N ist. Wir haben jedoch die Natürlichkeit von L nicht zur Verfügung und der Monomorphismus MTrf liegt ”nur“ in der Kategorie modR_{n}, wobei R_{n} aus R durch n-fachen Übergang zum Morita-dualen Ring entsteht. Aber mit dem durch LM gegebenen Isomorphismus der Grothendieckgruppen haben wir die Längen im Griff, weil (LTr)^{n}M ≅ (LM)^{n}(MTr)^{n}M ist. Abschließend zwei Beispiele: Bei Zimmermanns Variante der Kronecker-Algebra haben die schwarzen Moduln immerhin AR-Folgen in der Kategorie modR. Im zweiten Beispiel lassen sich die Typen der Komponenten des AR-Köchers nicht durch eine Artin-Algebra realisieren.

Bei Professor Zimmermann möchte ich mich für die gute Betreuung dieser Arbeit herzlich bedanken. Erst durch die modultheoretischen Grundlagen der Darstellungstheorie, die ich bei ihm gelernt habe, ist vorliegende Arbeit möglich geworden. Er war mir auch behilflich bei der Vermittlung eines Stipendiums der Universität München, für das ich mich ebenfalls bedanken möchte. Zum Gelingen dieser Arbeit haben auch viele hilfreiche Anregungen von Lidia Angeleri Hügel und Reinhold Betzler, der insbesondere eine vorläufige Version dieser Arbeit genau durchgesehen hat, beigetragen. Vielen Dank! Ich danke auch Professor Ringel für die Einladung an den Sonderforschungsbereich ”Diskrete Strukturen in der Mathematik“ im Sommersemester 1995. Aus den Diskussionen mit ihm, Henning Krause und Peter Dräxler sind das Schwarz-Weiß-Beispiel im zweiten Kapitel und wesentliche Teile des dritten Kapitels hervorgegangen.

8

Symbole

Für einen Ring R bezeichne:

ModR die Kategorie aller R-Rechtsmoduln
modR  die volle Unterkategorie von ModR zu den endlich präsentierten Moduln
indR  eine Transversale der Moduln in modR mit lokalem Endomorphismenring
finR  die volle Unterkategorie von modR zu den endoendlichen Moduln
Γ_{R}, γ_{R} der Auslander-Reiten-Köcher mit Punktemenge indR und Pfeilen, die

irreduziblen Morphismen in ModR bzw. modR entsprechen, vgl. Seite 52

P, I  die Klasse der projektiven bzw. injektiven Moduln
ind_{P}R die nicht-projektiven Moduln in indR
fin_{P}R  die Moduln in finR ohne projektiven (direkten) Summanden
K_{0}(modR) die Grothendieckgruppe, vergleiche Seite 25
melR  die Moduln endlicher Länge, vergleiche Seite 25

Für einen R-Modul M bezeichne:

LM  die lokale Dualität, vergleiche Seite 16 und Seite 24
TrM  das Transponieren, vergleiche Seite 15 und Seite 34
E(M)  die injektive Hülle
RadM  das (Jacobson-) Radikal
\overline{M}  den Radikalfaktor M/RadM
SocM  den Sockel von M
\underline{dim} M den Dimensionsvektor eines Moduls endlicher Länge, vgl. K_{0}(modR)

Für R-Moduln M, N bezeichne:

rad(M, N) die Homomorphismen im kategoriellen Radikal, vergleiche Seite 49
irr(M, N) den Bimodul der irreduziblen Morphismen, vergleiche Seite 49
M_{⊕}|N  ”M ist isomorph zu einem (direkten) Summanden von N“

Sonstige Bezeichnungen:

ZZ, IN, IN_{0} die ganzen bzw. positiven ganzen bzw. nicht-negativen ganzen Zahlen
Ab  die Kategorie der abelschen Gruppen.

10

Dualisieren und Transponieren

von Bimoduln

Hier soll die Wirkung der lokalen Dualität und des Transponierens auf die endlich erzeugten Moduln über einem artinschen PI-Ring mit modultheoretischen Mitteln untersucht werden.

Ringe, Moduln, Bimoduln

Sei R ein Ring mit Einselement. ModR bzw. RMod bezeichne die Kategorie aller unitären R-Rechts- bzw. R-Linksmoduln. Wir schreiben modR für die volle Unterkategorie von ModR zu den endlich präsentierten Moduln und indR für ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen der endlich präsentierten Moduln mit lokalem Endomorphismenring. Für Moduln M, N ∈ ModR und X, Y ∈ SMod bezeichnen wir die Homomorphismengruppen mit (M_{R}, N_{R}) und (_{S}X,_{S}Y). Wir schreiben Homomorphismen wie in ”f(m)“ und in ”(x)t“ auf die den Skalaren gegenüberliegende Seite und definieren die Komposition entsprechend. Ist M zusätzlich ein S-Linksmodul, der der Assoziativitätsbedingung ”(sm)r = s(mr) für s ∈ S, m ∈ M und r ∈ R“ genügt, so heißt M ein S − R-Bimodul und wir schreiben kurz _{S}M_{R}. Insbesondere hat man die Bimoduln _{End M}M_{R}, End N(M_{R}, N_{R})_{End M} und _{End X}(_{S}X,_{S}Y)_{End Y}. Von besonderer Bedeutung sind in dieser Arbeit Moduln, die – aufgefaßt als Moduln über ihrem Endomorphismenring – endliche Länge haben und die wir kurz endoendlich nennen. Die volle Unterkategorie finR von modR zu den endoendlichen Moduln ist nach [CB, Prop. 4.4 und 4.5] insbesondere additiv:

Proposition 1 (Zerlegung endoendlicher Moduln). Ein Modul ist genau dann endoendlich, wenn er Summe endoendlicher Moduln mit lokalem Endomorphismenring ist und in dieser Summe nur endlich viele Isomorphieklassen von Moduln mit lokalem Endomorphismenring vorkommen. q.e.d.

In dieser Arbeit sind alle Summen direkte Summen und alle Summanden sind direkt und von Null verschieden. Ein Ring R heißt rechts- bzw. linksartinsch, wenn R_{R} bzw._{R}R endliche Länge hat. Ein artinscher Ring ist beidseitig artinsch. R heißt (k-)Artin-Algebra, wenn k ein kommutativer artinscher Ring ist, der auf R zentral operiert, und R_{k} endlich erzeugt ist. Ein artinscher Ring heißt vom endlichen Typ, wenn die Menge indR endlich ist.

Bemerkung 2.

1. Ist R vom endlichen Typ, so ist jeder R-Modul endoendlich. (Dieser Satz findet sich in [ZHZ, Theorem 6], [P, 11.38] oder [CB, 4.7].)

2. Ist R eine k-Artin-Algebra, so ist jeder endlich erzeugte R-Modul endoendlich, denn er hat als k-Modul endliche Länge.

Jedoch können selbst bei artinschen (PI-)Ringen Moduln auftreten, die endliche Länge, aber keine endliche Endolänge haben. Ein erster Schritt, den Endomorphismenring in den Griff zu bekommen, ist [AF, Cor. 29.3]:

Proposition 3. Jeder Modul endlicher Länge hat semiprimären Endomorphismenring. q.e.d.

Dabei heißt ein Ring R semiprimär, wenn das (Jacobson-)Radikal RadR nilpotent ist und der Radikalfaktor R/RadR ein halbeinfacher Ring ist. Ein rechtsartinscher Ring R wird Rechts-Moritaring genannt, wenn ein injektiver Kogenerator Q von modR endlich erzeugt ist. Ein solcher Modul Q induziert nach [AF, 30.4] eine Morita-Dualität modR → Smod, falls S den Endomorphismenring von Q_{R} bezeichnet. Weiter treten in dieser Arbeit vereinzelt semiperfekte oder einseitig perfekte Ringe auf. Anstelle einer Wiederholung der Definitionen und grundlegenden Eigenschaften aus [K] oder [AF] geben wir ein Implikationsdiagramm; abschließend werden wir artinsche PI-Ringe genauer beschreiben.

[figure: semiperfekt; linksperfekt; rechtsperfekt; semiprimär; linksartinsch; rechtsartinsch; artinsch; artinsch mit Polynomidentität; rechts-Morita; Artin-Algebra; endlich dimensionale Algebra; links-Morita]

Mit der Forderung nach Polynomidentität verschaffen wir uns weitere Kontrolle über die Endomorphismenringe der Moduln in indR, für die wir insbesondere gegebenenfalls eine Morita-Dualität zur Verfügung haben:

Definition. Ein Polynom f ∈ ZZ < x_{1}, …, x_{n} > heißt monisch, falls mindestens ein Monom in f mit maximalem Grad den Koeffizienten 1 hat. Ein Ring R heißt Ring mit Polynomidentität, kurz PI-Ring, falls es n ∈ IN und ein monisches Polynom f ∈ ZZ<x_{1}, …, x_{n} > gibt mit f(r_{1}, …, r_{n}) = 0 für alle r_{1}, …, r_{n} ∈ R.

Beweise für die folgenden beiden Sätze finden sich in [PS, Theorem 2] und [MR, Cor. 13.4.9] bzw. in [RZ, Theorem 3].

Satz 4 (Polynomidentität für Endomorphismenringe). Ist R ein PI-Ring und M_{R} endlich erzeugt, so ist End M ein PI-Ring. q.e.d.

Satz 5 (Satz von Rosenberg und Zelinsky). Ein artinscher PI-Ring R ist Rechts-Moritaring. q.e.d.

Mit der folgenden bekannten Aussage lassen sich artinsche PI-Ringe charakterisieren als diejenigen artinschen Ringe, deren Radikalfaktor Artin-Algebra ist.

Proposition 6 (Charakterisierung semiprimärer PI-Ringe). Ein semiprimärer Ring R ist genau dann PI-Ring, wenn R/RadR Artin-Algebra ist.

Beweis.

1. Beweis der Behauptung für Schiefkörper.

Ist R Schiefkörper und k-Artin-Algebra, so können wir annehmen, daß k ein Körper und R_{k} endlichdimensional ist. k ist PI-Ring mittels der Identität x_{1}x_{2} − x_{2}x_{1} = 0. Nach Satz 4 ist End R_{k} ein PI-Ring, also auch der Unterring R ⊂ End R_{k}. Ist umgekehrt R Schiefkörper und PI-Ring, so ist R nach dem Satz von Kaplansky ([Kap, Theorem 1], vgl. [MR, Cor. 13.6.14]) auch endlichdimensional über seinem Zentrum.

2. Beweis der Behauptung für halbeinfache Ringe.

Nach dem Satz von Wedderburn-Artin [AF, 13.7] ist R isomorph zu einem endlichen Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Nach Satz 4 hat ein Matrizenring genau dann die PI-Eigenschaft, wenn der Grundring sie besitzt; offenbar ist ein endliches Produkt von Ringen genau dann ein PI-Ring, wenn jeder Faktor dies ist.

Umgekehrt ist ein halbeinfacher Ring genau dann Artin-Algebra, wenn jeder der Schiefkörper in der Wedderburn-Artin-Zerlegung dies ist, denn das Zentrum eines Matrizenrings stimmt mit dem Zentrum des Grundrings überein.

3. Beweis der Behauptung.

Sei J ein nilpotentes Ideal in R mit Nilpotenzindex t. Genügt R/J der Identität f, so genügt R der Identität f^{t}. Damit ist ein semiprimärer Ring R genau dann PI-Ring, wenn der Radikalfaktor R/RadR dies ist.

q.e.d.

Bekanntes zum Transponieren und zur lokalen Dualität

Hier sollen die beiden fundamentalen Konstruktionen, das Transponieren Tr und die lokale Dualität L mit den nötigen Eigenschaften vorgestellt werden.

Sei R ein semiperfekter Ring, M ∈ modR und

F : Q ⟶^{p} P ⟶^{g} M ⟶ 0

minimale projektive Präsentation, d. h. g : P → M und p : Q → Bip = Kerg seien projektive Hüllen. Durch Anwendung der Dualität ∗ = (−, R_{R}) : modR → Rmod erhält man eine projektive Präsentation

F^{∗} : P^{∗} ⟶^{p^{∗}} Q^{∗} ⟶^{g′} TrM ⟶ 0

des Transponierten TrM = Kokp^{∗}. Die Isomorphieklasse von TrM hängt nicht von der Wahl von F ab [AF, Lemma 32.11].

Satz 7 (Aussagen zum Transponieren). Sei R semiperfekt.

1. Falls M ∈ modR keinen projektiven Summanden hat und F eine minimale projektive Präsentation ist, ist auch F^{∗} eine minimale projektive Präsentation und _{R}TrM hat keinen projektiven Summanden.

2. Hat M ∈ modR keinen projektiven Summanden, so ist M reflexiv bzgl. des Transponierens: M ≅ TrTrM.

3. Ein endlich präsentierter Modul M ohne projektiven Summanden hat genau dann lokalen Endomorphismenring, wenn TrM lokalen Endomorphismenring hat.

Nota bene. Das Transponierte eines endoendlichen Moduls über einem artinschen Ring braucht nicht endoendlich zu sein. Vergleiche dazu Satz 25 und das Beispiel auf Seite 56.

Beweis des Satzes.

1., 2. Diese Aussagen werden in [W, 2.3 und 2.4] und in [AF, 32.13 und 32.14] gezeigt.

3. Folgender Beweis ist bekannt: Ein Endomorphismus f ∈ End M mit M ∈ modR ist genau dann Isomorphismus, wenn die durch F induzierten Abbildungen in End P und End Q Isomorphismen sind. Sei M ∈ modR nicht-projektiv mit End M lokal. Zum Beweis, daß End TrM lokal ist, zeigen wir für f ∈ End TrM, daß f oder 1 − f invertierbar ist. Nach Vorbemerkung und Voraussetzung ist aber Trf oder Tr(1 − f) = 1 − Trf invertierbar, also auch f oder 1 − f. q.e.d.

Sei jetzt M_{R} ein Modul mit lokalem Endomorphismenring S und bezeichne I = E(_{S}\overline{S}) die injektive Hülle des Radikalfaktors von S. Das Lokalduale von M ist definiert als LM = _{R}(_{S}M,_{S}I). Seine Isomorphieklasse hängt offensichtlich nur von der Isomorphieklasse von M ab. Für eine Summe M = ∐ M_{i} von Moduln mit lokalem Endomorphismenring setzen wir LM = ∐ LM_{i}.

Satz 8 (Aussagen zur lokalen Dualität). Sei R semiperfekt.

1. Für M ∈ indR mit S = End M_{R} und I = E(_{S}\overline{S}) gilt End_{R}LM ≅ End_{S}I. Insbesondere hat LM lokalen Endomorphismenring.

2. Sei _{S}M_{R} Bimodul und _{S}I injektiver Kogenerator. M_{R} ist genau dann endoendlich, wenn _{R}W = (_{S}M,_{S}I) endoendlich ist. Ist M endoendlich, haben M und W die gleiche Endolänge.

3. Sei e ∈ R lokales Idempotent und bezeichne _{R}Q die injektive Hülle von _{R}\overline{Re}.

a) L(\overline{eR}_{R}) ≅ _{R}\overline{Re}.

b) L(eR_{R}) ≅ _{R}Q.

c) L(_{R}Q) ≅ eR_{R}, falls R linksartinsch ist.

Definition. Zu M wie in der ersten Aussage von Satz 8 können wir auch den bidualen Modul LLM = ((_{S}M,_{S}I)_{T} , J_{T}) betrachten, wobei T = End_{S}I und J = E(\overline{T}_{T}) ist. Falls I eine Morita-Dualität Smod → modT induziert, bezüglich der M reflexiv ist, sagen wir auch, M ist reflexiv bezüglich L. Ist M reflexiv bezüglich L, so ist die kanonische Abbildung M → LLM definiert und ein Isomorphismus von S − R-Bimoduln.

Nota bene. Die lokale Dualität ist nicht notwendig funktoriell. Das L-Duale von Moduln endlicher Länge muß selbst nicht von endlicher Länge sein, umgekehrt brauchen Moduln endlicher Länge nicht als L-duale von Moduln endlicher Länge aufzutreten. Vergleiche dazu und zur Reflexivität von L Satz 15.

Bemerkung 9.

1. Ist R vom endlichen Typ, so ist jeder unzerlegbare Modul M reflexiv bzgl. L.

2. Ist R eine k-Artin-Algebra, so hat man die (funktorielle) Dualität

D = (−, I_{k}) : modR ⟶ Rmod,

wobei I_{k} die injektive Hülle von \overline{k}_{k} bezeichnet (vergleiche [AF, 30.6]). D stimmt mit der lokalen Dualität auf modR bis auf Isomorphie überein.

Beweis des Satzes. Der Beweis ist aus [V] bzw. aus einer Vorlesung von Zimmermann entnommen. Neben dem Hom-Tensor-Adjunktionsisomorphismus Hom−⊗ wird folgender Isomorphismus verwendet: Sei M_{R} endlich präsentiert, _{S}B_{R} Bimodul und _{S}I injektiv. Der in M und I natürliche Gruppenisomorphismus

\begin{aligned}Kon−⊗ : & M ⊗_{R} (_{S}B,_{S}I) & ⟶ & (_{S}(M_{R}, B_{R}),_{S}I), \\ & m ⊗ f & ⟼ & ( g ↦ ( g(m) )f ), \end{aligned}

verschiebt den Modul im Tensorprodukt ins doppelt kontravariante Argument.

1. Die Komposition der Gruppenisomorphismen

(_{R}(_{S}M,_{S}I),_{R}(_{S}M,_{S}I)) ≅^{Hom−⊗} (_{S}M ⊗_{R} (_{S}M,_{S}I),_{S}I)
≅^{(Kon−⊗,1)} (_{S}(_{S}(M_{R}, M_{R}),_{S}I),_{S}I)
≅  (_{S}I,_{S}I)

bildet ϕ ∈ End_{S}I auf (ψ ↦ ψϕ) ab, ist also Ringisomorphismus ([A4, I, Cor. 11.3]). Das Radikal von End_{S}I besteht aus den Endomorphismen, die Soc_{S}I annullieren ([K, 9.6.1]); der Faktor ist zu End Soc_{S}I ≅ \overline{S} isomorph.

2. Nach [CB, Prop. 4.1] sind M_{R} bzw. _{R}W genau dann endoendlich, wenn sie die aufsteigende und die absteigende Kettenbedingung für endlich matrizielle Untergruppen erfüllen. Der Verband der endlich matriziellen Untergruppen von M_{R} ist aber nach [ZHZ, Prop. 3] antiisomorph zu dem von RW. Daraus folgt auch der Zusatz, denn für einen endoendlichen Modul X stimmen die End X-Untermoduln mit den endlich matriziellen Untergruppen von X überein ([CB, Prop. 4.1]).

3a),b) Wir zeigen zuerst, daß L(\overline{eR}_{R}) ⊂ L(eR_{R}) Unterbimodul ist: Sei S = End eR_{R}, I = E(_{S}\overline{S}) und T = End_{S}I. Die projektive Hülle eR → \overline{eR} ist S − R-Bimodulepimorphismus, wobei S auf \overline{eR} mittels End \overline{eR}_{R} ≅ S/RadS operiert. Dann ist (_{S}\overline{eR},_{S}I) ⊂ (_{S}eR,_{S}I) = L(eR_{R}) ein R − T - Unterbimodul, wobei gilt (_{S}\overline{eR},_{S}I) = (\overline{S}\overline{eR}, \overline{S}\overline{S}) = L(\overline{eR}_{R}). Nach dem Testlemma für flache Moduln [K, Satz 10.4.8] ist L(eR_{R}) als dualer eines flachen Moduls injektiv, hat nach 1. lokalen Endomorphismenring und enthält nach Vorbemerkung die injektive Hülle eines einfachen Moduls, der nicht von e annulliert wird. Also ist L(eR_{R}) ≅ _{R}Q und L(\overline{eR}) ist einfach und zu _{R}\overline{Re} isomorph.

3c) Sei zunächst R linksartinsch, _{R}Q_{S} Bimodul, _{R}Q und I_{S} injektiv. Dann ist (Q_{S}, I_{S})_{R} flach: Die Einbettung eines endlich erzeugten Linksideals _{R}A ⊂ _{R}R macht folgendes Diagramm kommutativ.

[figure: ((_{R}A,_{R}Q)_{S}, I_{S}); ((_{R}R,_{R}Q)_{S}, I_{S}); (Q_{S}, I_{S}) ⊗_{R} A; (Q_{S}, I_{S}) ⊗_{R} R; Kon−⊗; Kon−⊗]

Mit der oberen ist auch die untere Abbildung Monomorphismus und (Q_{S}, I_{S})_{R} ist flach nach dem Testlemma.

Sei jetzt S = End_{R}Q und I = E(\overline{S}\overline{S}). L(_{R}Q) ist flach nach Vorbemerkung, also projektiv, und hat einfachen Kopf:

L(_{R}Q)_{R}/RadL(_{R}Q)_{R} ≅^{flach} L(_{R}Q) ⊗_{R} \overline{R}_{R}
≅^{Kon−⊗} ((_{R}\overline{R},_{R}Q)_{S}, I_{S})_{R}
= ((Soc_{R}Q)_{S}, I_{S})_{R}
= ((Soc_{R}Q)\overline{S}, \overline{S}\overline{S})_{R}
= L(_{R}\overline{Re})_{R} =^{3.} \overline{eR}_{R}.

q.e.d.

Zum Lemma von Dowbor und Simson

Seien zwei Körper K und L und ein Bimodul _{L}M_{K} gegeben. Wir untersuchen in diesem Abschnitt Beziehungen zwischen den Dimensionen M_{K}, _{L}M, _{K}(_{L}M, L), (_{L}M, L)_{L} und ((_{L}M, L)_{L}, L)_{K}. Dafür benötigen wir das Lemma von Dowbor und Simson [DS, Prop. 1.3] und den Satz von Erdös und Kaplansky [J, IX, Theorem 2]. Den Beweis dieses Satzes führen wir im kommutativen Spezialfall vor: Der wesentliche Dimensionssprung wird mit einer Vandermondeschen Determinante erzwungen. Jetzt können wir die Dimensionsaussagen in Folgerung 12 und Lemma 13 zeigen. Die zusammenfassende Folgerung 14 gilt sogar für Bimoduln über einfachen artinschen Ringen.

Proposition 10 (Lemma von Dowbor und Simson). Seien K und L Schiefkörper, die über ihrem Zentrum endlichdimensional sind und sei _{L}M_{K} ein Bimodul.

1. Sind _{L}M und M_{K} endlichdimensional, so auch _{K}(_{L}M, L).

2. Gelten die Aussagen in 1., hat man

dim_{L}M = dim (_{L}M, L)_{L}  und  dim M_{K} = dim_{K}(_{L}M, L).

q.e.d.

Satz 11 (Satz von Erdös und Kaplansky). Sei _{L}V Vektorraum über einem Schiefkörper mit unendlicher Dimension d. Die Dimension des Dualraums A_{L} = (_{L}V , L) ist |L|^{d}.

Beweis für den kommutativen Fall. Man zeigt zuerst, daß ein Vektorraum A_{L} mit unendlicher Basis B die Kardinalität |A| = max{|L|, |B|} hat. Es ist A = ⋃_{n∈IN_{0}}^{.} A_{n}, falls

B_{n} = {B′ ⊂ B : |B′| = n} und
A_{n} = {∑_{i=1}^{n} b_{i}λ_{i} : für {b_{1}, …, b_{n}} ∈ B_{n} und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ L^{∗}},

wobei L^{∗} die Einheitengruppe von L bezeichnet. Dann erhält man die Kardinalität von A mit den Schritten

| ⋃_{n∈IN_{0}}^{.} A_{n}| = max{|IN_{0}|, sup{|A_{n}| : n ∈ IN_{0}}}
|A_{n}| = |B_{n} × (L^{∗})^{n}|
|B_{n} × (L^{∗})^{n}| = max{ |B_{n}|, |(L^{∗})^{n}|}, falls eine der Mengen unendlich ist
|B_{n}| = |B| für n > 0
|(L^{∗})^{n}| = |L| oder endlich.

Also gilt für Basen D von _{L}V und B von A_{L} = (_{L}V , L):

max{|L|, |B|} = |A| = |Abb(D, L)| = |L|^{d}.

Da V unendlichdimensional ist, gibt es einen Monomorphismus L^{(IN)} → V, also einen Epimorphismus A → L^{IN}, und es folgt |B| ≥ |L| und damit die Behauptung aus folgender Aussage, daß die Dimension des abzählbaren Produkts L^{IN} von der Kardinalität des Körpers L abhängt: q.e.d.

Hilfsaussage (mit Vandermondescher Determinante). Ist K Integritätsring, so enthält K^{IN} eine linear unabhängige Teilmenge der Kardinalität |K|.

Beweis. Die Abbildung ϕ : K → K^{IN}, γ ↦ (1, γ, γ^{2}, …), ist injektiv; ihr Bild ist linear unabhängige Teilmenge: Sind γ_{1}, …, γ_{n} paarweise verschieden, so ist die Vandermondesche Determinante

| 1 γ_{1} γ_{1}^{2} ⋯ γ_{1}^{n−1} ; ⋮ ; 1 γ_{n} γ_{n}^{2} ⋯ γ_{n}^{n−1} | = ∏_{1≤i<j≤n}(γ_{j} − γ_{i}) ≠ 0,

denn K ist kommutativ und nullteilerfrei. Also sind ϕ(γ_{1}), …, ϕ(γ_{n}) linear unabhängig. q.e.d.

Folgerung 12 (Dimension des Endomorphismenrings). Sei L Körper und LV Vektorraum der unendlichen Dimension d. Bezeichne E = End_{L}V die Endomorphismenalgebra, V′_{L} = (_{L}V , L) den Dualraum, d′ dessen Dimension, LV′′ = (V′_{L}, L) den Bidualraum und d′′ dessen Dimension.

1. dim E_{L} = |L|^{d} = d′.

2. V′ ist zyklischer E-Linksmodul; V′′ ist als E-Rechtsmodul nicht endlich erzeugt.

3. Ist K Körper und _{L}V_{K} Bimodul, so gilt dim V′′_{K} ≥ |L|^{d′} = d′′.

Beweis.

1. E ist die Algebra der zeilenendlichen d × d-Matrizen. Mit V = ∐_{d} L hat

man

E_{L} = (∐_{d} L, ∐_{d} L) ≅ ∏_{d} ∐_{d} L.

Nach Satz 11 hat man die Isomorphismen

(∏_{d} L)_{L} ≅ ∐_{d′} L, (∏_{d} ∏_{d} L)_{L} ≅ ∏_{d×d} L ≅ ∏_{d} L ≅ ∐_{d′} L,

und aus ∏_{d} L ⊂ ∏_{d} ∐_{d} L ⊂ ∏_{d} ∏_{d} L folgt, daß dim E_{L} = d′ ist.

2. Es ist _{E}V′ _{⊕}| _{E}(_{L}V ,_{L}V) = _{E}E, insbesondere ist _{E}V′ zyklisch. Eine weitere Anwendung von Satz 11 liefert die L-Dimension des Bidualraums:

dim_{L}(V′_{L}, L) = |L|^{d′} =: d′′.

Damit kann V′′_{E} nicht endlich erzeugt sein.

3. Ist genauer I ein Erzeugendensystem von V′′_{E}, so hat man einen Epimorphismus ∐_{I} E_{E} → V′′_{E}. Aus dim (∐_{I} E)_{L} = |I × d′| = max{|I|, d′} folgt |I| ≥ d′′. Da K auf V′′ als Unterring von E operiert, ist auch dim V′′_{K} ≥ d′′.

q.e.d.

Für Bimoduln _{L}M_{K} haben wir folgende für diese Arbeit grundlegende Aussage:

Lemma 13. Sei _{L}M_{K} Bimodul über Körpern K und L. Sind zwei der Moduln M_{K}, _{L}M, _{K}(_{L}M, L) endlichdimensional, so ist auch der dritte endlichdimensional.

Beweis.

a) Nach Proposition 10 ist mit _{L}M und M_{K} auch _{K}(_{L}M, L) endlichdimensional.

b) Sind _{L}M und _{K}(_{L}M, L) endlichdimensional, so auch M_{K}:

Mit _{L}M ist auch (_{L}M, L)_{L} endlichdimensional. Wendet man Proposition 10 auf den dualen Modul _{K}(_{L}M, L)_{L} an, erhält man, daß der biduale Modul ((_{L}M, L)_{L}, L)_{K} endlichdimensional ist. Die Auswertungsabbildung M → ((_{L}M, L)_{L}, L) ist Bimodulmonomorphismus und M_{K} ist endlichdimensional.

c) Mit M_{K} und _{K}(_{L}M, L) ist auch _{L}M endlichdimensional:

Wir identifizieren K und L in kanonischer Weise mit Unterkörpern von End M_{K} und betrachten den kommutativen Unterring T = LK ⊂ End M_{K}. Zuerst zeigen wir, daß _{K}(_{L}T , L) endlichdimensional ist:

Ist M_{K} durch m_{1}, …, m_{n} erzeugt, so hat man den End M_{K}- Monomorphismus

End MEnd M_{K} ⟶ _{End M}M^{n}, ϕ ⟼ (ϕ(m_{1}), …, ϕ(m_{n})).

Durch Beschränkung auf T erhalten wir einen Monomorphismus von L−K-Bimoduln

LT_{K} ⟶ _{L}M_{K}^{n}.

Dualisieren mit _{L}L ergibt den K-Epimorphismus

K(_{L}M, L)^{n} ⟶ _{K}(_{L}T , L),

und die Voraussetzung liefert, daß _{K}(_{L}T , L) endlichdimensional ist.

Damit ist _{T} (_{L}T , L) endlich erzeugt. Wir werden sehen, daß dann _{L}T endlichdimensional ist, woraus die Behauptung folgt. Angenommen, _{L}T hat unendliche Dimension. Mit Satz 11 erhält man die Ungleichungen

dim_{L}(_{L}T , L) ≤ dim_{L}T < dim (_{L}T , L)_{L}.

Wegen ϕλ = λϕ für λ ∈ L und ϕ ∈ (_{L}T , L) ist eine Linksbasis für den L-Vektorraum (_{L}T , L) auch eine Rechtsbasis, und wir haben den gewünschten Widerspruch. q.e.d.

Damit haben wir die benötigte allgemeinere Version des Lemmas von Dowbor und Simson:

Folgerung 14. Sei _{S}M_{R} Bimodul über einfachen artinschen PI-Ringen R und S.

1. _{S}M hat genau dann endliche Länge, wenn (_{S}M, S)_{S} endliche Länge hat. In diesem Fall sind beide S-Längen gleich.

2. Sind zwei der Moduln _{S}M, M_{R}, _{R}(_{S}M, S) von endlicher Länge, so ist auch der dritte von endlicher Länge. In diesem Fall sind beide R-Längen gleich.

3. _{S}M und M_{R} haben genau dann beide endliche Länge, wenn der biduale Modul ((_{S}M, S)_{S}, S)_{R} endliche Länge hat.

Beweis. R und S sind isomorph zu Matrizenringen über Schiefkörpern, die wegen der Polynomidentität endlichdimensional über ihrem jeweiligen Zentrum K bzw. L sind. Weil _{S}S und _{S}(_{L}S, L) halbeinfache Moduln gleicher L-Dimension sind, hat man den R − L-Bimodulisomorphismus

(_{L}M, L) ≅ (_{L}S ⊗_{S} M, L) ≅^{Hom−⊗} (_{S}M,_{S}(_{L}S, L)) ≅ (_{S}M, S).

Damit ist 1. auf die entsprechende Situation bei Vektorräumen reduziert, denn der einfache S-Rechtsmodul hat die gleiche L-Dimension wie der einfache S-Linksmodul. Die erste Aussage in 2. folgt aus Lemma 13, die zweite aus Proposition 10. Hat _{S}M in 3. endliche Länge, so sind nach 2. und 1. die Aussagen ”Lä M_{R} < ∞“, ”Lä_{R}(_{S}M, S) < ∞“, ”Lä ((_{S}M, S)_{S}, S)_{R} < ∞“ zueinander äquivalent. Andernfalls ist _{L}M unendlichdimensional, also nach Folgerung 12 auch ((_{L}M, L)_{L}, L)_{K}, und der L − R-Bimodulisomorphismus

L((_{S}M, S)_{S}, S)_{R} ≅ _{L}((_{L}M, L)_{L}, L)_{R}

liefert, daß der biduale Modul nicht endlich erzeugt sein kann. q.e.d.

Endoendlichkeit steuert das Verhalten der lokalen Dualität

Ziel des Abschnitts ist der Beweis von folgendem

Satz 15. Sei R ein artinscher PI-Ring und M ∈ indR.

1. Ist M endoendlich, so hat der duale Modul LM hat endliche Länge und endliche Endolänge, genauer gilt in der Grothendieckgruppe K_{0}(Rmod):

[LM] = λ[M],

wobei λ den durch [\overline{eR}] ↦ [\overline{Re}] gegebenen Isomorphismus bezeichnet. Weiter ist M reflexiv bezüglich L, genauer hat man: Mit S = End M, I = E(_{S}\overline{S}) und T = End_{S}I ist der biduale Modul LLM zu ((M,_{S}I), I_{T}) isomorph, und die Auswertungsabbildung M → LLM ist ein Isomorphismus von S − R-Bimoduln.

2. Ist M nicht endoendlich, so ist der duale Modul LM weder von endlicher Länge noch von endlicher Endolänge. M ist nicht isomorph zu einem Modul LW für W ∈ Rind und nicht isomorph zu einem Modul LLM′ für M′ ∈ indR.

Wir betrachten in diesem Abschnitt allgemeiner Bimoduln _{S}M_{R} über semiprimären Ringen R und S. Nach Lemma 16 haben wir zu M eine Filtrierung, deren Faktoren halbeinfache und isotypische S − R-Bimoduln sind. Der ”Satz über das Dualisieren“ (Satz 17) wird gezeigt, indem man Folgerung 14 und Folgerung 12 auf diese Faktoren anwendet. Damit können wir dann obigen Satz 15 beweisen, eine Rückrichtung im Satz von Rosenberg und Zelinsky (Folgerung 18) zeigen und schon für die Untersuchung des Transponierens das ”Testlemma für artinsch PI“ (Folgerung 19) bereitstellen.

Definition. Wir bezeichnen in diesem Abschnitt für einen Ring R mit melR die volle Unterkategorie von ModR zu den R-Rechtsmoduln endlicher Länge. Die Grothendieckgruppe K_{0}(melR) ist die freie abelsche Gruppe mit Basiselementen [M], den Isomorphieklassen der Moduln M ∈ melR, modulo der Relationen [B] − [A] − [C], die durch die kurzen exakten Folgen 0 → A → B → C → 0 in melR gegeben sind. Der Dimensionsvektor \underline{dim} M bezeichnet den Koordinatenvektor von [M] ∈ K_{0}(melR) bezüglich derjenigen Basis von K_{0}(melR), die durch die Isomorphieklassen der einfachen R-Rechtsmoduln gegeben ist (vgl. [ARS, I, Theorem 1.7]). Ein 0 ≠ x ∈ K_{0}(melR) heißt positiv bzw. negativ, wenn der Koordinatenvektor bezüglich dieser Basis nur nicht-negative bzw. nicht-positive Einträge hat. Entsprechend wird x < y und x ≤ y für x, y ∈ K_{0}(melR) definiert. Ist R semiperfekter Ring und bilden e_{1}, …, e_{n} eine Transversale der lokalen Idempotente, so hat man den Gruppenisomorphismus

λ : K_{0}(melR) ⟶ K_{0}(Rmel), [\overline{e_{i}R}] ⟼ [\overline{Re_{i}}].

Schließlich heißt ein Modul M ∈ melR isotypisch, wenn in \underline{dim} M höchstens ein Eintrag von Null verschieden ist.

Lemma 16 (Filtrierung für Bimoduln über semiprimären Ringen). Zu einem S − R-Bimodul über semiprimären Ringen R und S gibt es eine Folge von Unterbimoduln

0 = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ … ⊂ N_{t} = M,

deren Faktoren M_{i} = N_{i}/N_{i−1} als R-Rechts- und als S-Linksmoduln halbeinfach und isotypisch sind.

Beweis. Wir nutzen die insgesamt vier Kettenbedingungen, die die semiprimären Ringe R und S erfüllen, wie folgt aus, um die Kette 0 ⊂ M zu einer gewünschten Filtrierung zu verfeinern: Hat man S − R-Unterbimoduln U ⊂ N von M mit NRad^{t}R ⊂ U, so ist

U = U + NRad^{t}R ⊂ … ⊂ U + NRadR ⊂ N

Folge von Unterbimoduln, deren Faktoren als Rechtsmoduln halbeinfach sind. Sei e_{1}, …, e_{n} eine Transversale der lokalen Idempotente von R und ẽ_{i} = e_{1} + ⋯ + e_{i}. Sind U ⊂ N Unterbimoduln mit halbeinfachem Faktormodul (U/N)_{R}, so ist

U ⊂ U + Nẽ_{1}R ⊂ … ⊂ U + Nẽ_{n−1}R ⊂ N

Folge von Unterbimoduln, deren Faktoren als Rechtsmoduln halbeinfach und isotypisch sind. Durch entsprechendes Vorgehen auf der linken Seite erhält man das Ergebnis.

q.e.d.

Bemerkung. An Stelle der Voraussetzung ”R und S semiprimär“ genügt es hier und in folgendem Satz zu fordern, daß M_{R} ein Modul endlicher Länge über einem semiperfekten Ring ist und entweder S linksperfekt ist oder _{S}M noethersch über einem semiperfekten Ring ist, denn stets erfüllt M das Lemma von Nakayama ([K, 9.2.1 und 11.5.5]) und es gibt sogar t ∈ IN mit MRad^{t}R = 0 = Rad^{t}S M.

Satz 17 (Satz über das Dualisieren). Seien R, S semiprimäre PI-Ringe, _{S}M_{R} Bimodul, _{S}I endlich koerzeugter injektiver Kogenerator und T = End_{S}I sein Endomorphismenring.

1. T ist semiprimärer PI-Ring. _{S}M ist genau dann von endlicher Länge, wenn (_{S}M,_{S}I)_{T} von endlicher Länge ist. In diesem Fall sind beide Längen gleich.

2. Sind zwei der Moduln _{S}M, M_{R}, _{R}(_{S}M,_{S}I) von endlicher Länge, so ist auch der dritte von endlicher Länge. In diesem Fall gilt, falls _{S}I = E(_{S}\overline{S}) ist,

λ[M_{R}] = [_{R}(_{S}M,_{S}I)] in K_{0}(melR).

3. Gelte _{S}I = E(_{S}\overline{S}) und sei J_{T} = E(\overline{T}_{T}). _{S}M und M_{R} sind genau dann von endlicher Länge, wenn der biduale Modul ((_{S}M,_{S}I)_{T} , J_{T})_{R} von endlicher Länge ist.

Beispiel. Die Voraussetzung ”R hat Polynomidentität“ ist in zwei Richtungen der zweiten Aussage des Satzes notwendig:

Sei F ⊂ G die Cohnsche Schiefkörpererweiterung [C, Theorem 5.6.1] mit dim_{F} G = ∞ und dim G_{F} < ∞. G hat unendliche Dimension über seinem Zentrum, genügt also nach dem Satz von Kaplansky [Kap, Theorem 1] keiner Polynomidentität. Sei R der beidseitig artinsche erbliche Ring

R = ( \begin{matrix}G & _{G}G_{F} \\ 0 & F \end{matrix} ) und e = ({1 \atop 0} {0 \atop 0}) .

Dann ist P_{R} = eR von endlicher Länge und endoendlich, aber _{R}LP ≅ E(_{R}\overline{Re}) = E ist nicht endlich erzeugt: P ist als Summand des endoendlichen Moduls R_{R} selbst endoendlich (Proposition 1), LP ≅ E und LE ≅ P gilt nach Satz 8, und schreibt man G = End P_{R} und GP_{R} = _{G}G_{G} ⊕_{G}G_{F}, so gilt

RE_{G} = _{G}(_{G}G, G) ⊕_{F} (_{G}G, G) ≅ _{G}G_{G} ⊕_{F} G_{G}

und nach Voraussetzung an G ist E/SocE nicht von endlicher Länge. Umgekehrt ist P_{R}, das Duale von _{R}E, von endlicher Länge.

Beweis des Satzes. Zur Reduktion auf den halbeinfachen isotypischen Fall verwenden wir Bimodulfiltrierung: Nach Lemma 16 gibt es t ∈ IN und eine Folge von S − R-Unterbimoduln von M

0 = N_{0} ⊂ … ⊂ N_{t} = M,

deren Faktoren M_{i} = N_{i}/N_{i−1} für 1 ≤ i ≤ t als R-Rechts- und S-Linksmoduln halbeinfach und isotypisch sind. Für einen zunächst beliebigen Modul _{S}I hat man die exakten Folgen

0 ⟶ (_{S}M_{i},_{S}I) ⟶ (_{S}N_{i},_{S}I) ⟶ (_{S}N_{i−1},_{S}I)

von R − T -Bimoduln, wobei T = End_{S}I ist. Es gilt für die Längen in IN_{0} ∪ {∞}:

Lä M_{R} = ∑_{i=1}^{t} Lä M_{i R}, Lä_{S}M = ∑_{i=1}^{t} Lä_{S}M_{i}

Lä_{R}(_{S}M,_{S}I) ≤ ∑_{i=1}^{t} Lä_{R}(_{S}M_{i},_{S}I) = ∑_{i=1}^{t} Lä_{R}(_{S}M_{i},_{S}Soc_{S}I) und

Lä (_{S}M,_{S}I)_{T} ≤ ∑_{i=1}^{t} Lä (_{S}M_{i},_{S}I)_{T} = ∑_{i=1}^{t} Lä (_{S}M_{i},_{S}Soc_{S}I)_{T} .

Dabei gilt Gleichheit, falls _{S}I injektiv ist.

1. Wir zeigen zuerst, daß T semiprimärer Ring ist. RadT ist der Annullator von Soc_{S}I in T [K, Satz 9.6.1]; da _{S}I endliche Loewy-Länge hat, ist RadT nilpotent. Weiter folgt aus der Injektivität von _{S}I, daß \overline{T} isomorph zu End_{S}Soc_{S}I ist. Nach der Voraussetzung an _{S}I ist _{S}Soc_{S}I endlich erzeugter injektiver Kogenerator von \overline{S}mod, induziert also eine Morita-Dualität \overline{S}mod → mod\overline{T}. Damit ist \overline{T} halbeinfach und genügt nach Satz 4 einer Polynomidentität. Mit dieser Morita-Dualität und obiger Bimodulfiltrierung ergeben sich auch die Längenaussagen.

2. Genauer gilt mit Folgerung 14:

• Ist _{S}I endlich koerzeugt, so hat mit M_{R} und _{S}M auch _{R}(_{S}M,_{S}I) endliche Länge.

• Ist _{S}I injektiver Kogenerator, so hat mit M_{R} und _{R}(_{S}M,_{S}I) auch M_{S} und mit M_{S} und _{R}(_{S}M,_{S}I) auch M_{R} endliche Länge.

• Ist _{S}I = E(_{S}\overline{S}), so gilt die Gleichung.

3. Ist _{S}M von endlicher Länge, so sind nach 2. und 1. äquivalent:

• M_{R} hat endliche Länge.

• _{R}(_{S}M,_{S}I) hat endliche Länge.

• ((_{S}M,_{S}I)_{T} , J_{T})_{R} hat endliche Länge.

Ist _{S}M nicht von endlicher Länge, so hat auch ein Faktor _{S}M_{i_{0}} der Bimodulfiltrierung unendliche Länge. Wegen \overline{T} ≅ \overline{S} liefert uns Folgerung 14, daß ((_{S}M_{i_{0}}, \overline{S})_{T} , \overline{T})_{R} nicht von endlicher Länge ist. Da die Moduln ((_{S}M_{i}, \overline{S})_{T} , \overline{T}) für 1 ≤ i ≤ t die halbeinfachen isotypischen Faktoren einer Bimodulfiltrierung für ((_{S}M,_{S}I)_{T} , J_{T}) sind, kann dieser Modul keine endliche Länge besitzen. q.e.d.

Folgerung 18 (Eine Rückrichtung im Satz von Rosenberg und Zelinsky). Ein Links-Moritaring S mit Polynomidentität ist artinsch.

Beweis. Nach dem Satz von Azumaya und Morita [AF, Theorem 30.4] induziert ein endlich erzeugter injektiver Kogenerator _{S}I eine Morita-Dualität Smod → modT mit T = End_{S}I. Der Modul _{S}S ist reflexiv bzgl. dieser Dualität und die Auswertungsabbildung

S ⟶ ((S,_{S}I)_{T} , I_{T}) ≅ (I_{T} , I_{T})

ist Bimodulisomorphismus. Da I_{T} endlich koerzeugt ist und _{S}I_{T} auf jeder Seite endliche Länge hat, ist auch S_{S} ≅ (I_{T} , I_{T})_{S} von endlicher Länge nach 2. in Satz 17. q.e.d.

Folgerung 19 (Test-Lemma für artinsch PI). Sei M_{R} ein endlich erzeugter Modul über einem artinschen PI-Ring R und S ⊂ End M_{R} ein Unterring, so daß SM von endlicher Länge ist. Dann ist auch S artinscher PI-Ring.

Beweis. Mit R ist auch der Unterring des Endomorphismenrings eines endlich erzeugten Moduls ein PI-Ring (Satz 4). Ist M_{R} endlich erzeugt, sagen wir durch m_{1}, …, m_{t}, haben wir den End M-Monomorphismus

End M_{R} ⟶ M^{t}, ϕ ⟼ (ϕ(m_{1}), …, ϕ(m_{t})).

Da _{S}M endliche Länge hat, ist S linksartinsch. Nach dem Satz von Rosenberg und Zelinsky (Satz 5) gibt es einen endlich erzeugten injektiven Kogenerator Q_{R}, der eine Morita-Dualität modR → T mod induziert, wobei T = End Q_{R} ist. Dann ist _{T} N = (M_{R}, Q_{R}) endlich erzeugt, z. B. durch n_{1}, …, n_{l}, und S kann als Unterring des Endomorphismenrings aufgefaßt werden [AF, Prop. 23.3]. Nach Satz 17 (mit vertauschten Rollen von R und S) ist N_{S} von endlicher Länge. Der End N-Monomorphismus End_{T} N → N^{l}, g ↦ ((n_{1})g, …, (n_{l})g), liefert, daß S rechtsartinsch ist. q.e.d.

Wir zeigen noch das eingangs formulierte Hauptergebnis, Satz 15. Beweis. Sei R artinscher PI-Ring und M ∈ indR. Da M_{R} endliche Länge hat, ist nach Proposition 3 sein Endomorphismenring S ein semiprimärer Ring. Bezeichne I = E(_{S}\overline{S}), T = End_{S}I und LM = (_{S}M,_{S}I).

1. Ist M_{R} endoendlich, so hat _{R}LM nach Satz 17 endliche Länge und den gewünschten Dimensionsvektor. Nach Satz 8 ist LM endoendlich.

Folgerung 19 liefert, daß S artinscher PI-Ring ist, also induziert I eine Morita-Dualität Smod → modT (Satz 5). M ist reflexiv bezüglich I. Weiter gilt ((_{S}M,_{S}I)_{T} , I_{T})_{R} ≅ LLM_{R}, denn es ist T ≅ End_{R}(_{S}M,_{S}I) nach Satz 8. Die Reflexivität folgt auch aus [Z2, Lemma 5].

2. Ist M_{R} nicht endoendlich, ist nach Satz 17 der duale Modul _{R}LM nicht endlich erzeugt und nach Satz 8 auch nicht endoendlich. Weiter ist für W ∈ Rind nach Satz 17 und Satz 8 der duale Modul LW genau dann endlich erzeugt, wenn er endoendlich ist. M kann also nicht zu einem LW für W ∈ Rind isomorph sein. Es bleibt zu zeigen, daß M zu keinem bidualen Modul LLM′ für M′ ∈ indR isomorph ist. Mit S′ = End M′_{R} und I′ = E(_{S′} \overline{S′}) ist End_{R}LM′ ≅ End_{S′}I′ nach Satz 8. Damit ist LLM′ ≅ ((_{S′}M′,_{S′}I′)_{T′}, J′_{T′}) für T′ = End_{S′}I′ und J′ = E(\overline{T′}_{T′}). Aus 3. in Satz 17 und aus Satz 8 folgt, daß der biduale Modul LLM′ genau dann endoendlich ist, wenn er endlich erzeugt ist. q.e.d.

Der Schleifenfunktor überträgt endliche Endolänge

Wir zeigen in diesem Abschnitt, daß sich die Endoendlichkeit eines Moduls M schon an _{End M} \overline{M} ablesen läßt und folgern, daß mit M auch ΩM endoendlich ist.

Lemma 20 (Endoendlich hängt nur vom Kopf ab). Sei R linksartinsch, M ∈ ModR, S ⊂ End M_{R} und _{S}\overline{M}_{R} = M/RadM_{R}. Ist _{S}\overline{M} noethersch bzw. artinsch, so ist auch _{S}M noethersch bzw. artinsch.

Beweis. Sei l die Loewylänge von M_{R} und 0 ≤ t < l. Die Zeilen im Diagramm

[figure: \overline{M} ⊗_{R} R^{n_{t}} ≅ \overline{M}^{n_{t}}; 1 ⊗ p_{t}; Rad^{t+1}M; Rad^{t}M; RadM_{R} ⊗_{R} Rad^{t}R; M ⊗_{R} Rad^{t}R; ι ⊗ 1; μ; μ; Rad^{t}M/Rad^{t+1}M; \overline{M} ⊗_{R} Rad^{t}R; q ⊗ 1; μ′′; 0; 0; 0]

sind exakte Folgen von End M − R-Bimoduln. Weil \overline{R} halbeinfach ist, gilt Rad^{t}M_{R} = M Rad^{t}R [K, 9.3.5], also ist die Multiplikation μ ein Bimodulepimorphismus, der zusammen mit der Kokernabbildung μ′′ die Quadrate kommutativ macht. Ist p_{t} : _{R}R^{n_{t}} → _{R}Rad^{t}R ein Epimorphismus, so ist die Komposition der Abbildungen in der rechten Spalte ein End M_{R}-Epimorphismus und Kettenbedingungen werden wie gewünscht übertragen. q.e.d.

Bemerkung. Falls _{S}\overline{M} endliche Länge hat, können wir die Länge von _{S}M durch

Lä_{S}M ≤ Lä_{S}\overline{M} · ∑_{t=0}^{l−1} n_{t}

nach oben abschätzen.

Lemma 21 (Endoendlich hängt nur vom Sockel ab). Sei R rechtsartinsch, M ∈ ModR, S ⊂ End M_{R} und _{S}N_{R} = SocM_{R}. Ist _{S}N noethersch bzw. artinsch, so ist auch _{S}M noethersch bzw. artinsch.

Beweis. Der Beweis kann mit folgendem Diagramm dual zum Beweis von Lemma 20 geführt werden.

[figure: 0; (R/Rad^{t}R, M_{R}); 0; Soc^{t}M; η; (R/Rad^{t+1}R, M_{R}); Soc^{t+1}M; η; (Rad^{t}R/Rad^{t+1}R, M_{R}); Soc^{t+1}M/Soc^{t}M; 0; (R_{R}^{m_{t}}, SocM) ≅ (SocM)^{m_{t}}; (q_{t}, 1_{SocM})]

Dabei ist η der Auswertungsisomorphismus. Sind q_{t} : R^{m_{t}} → Rad^{t}R/Rad^{t+1}R Epimorphismen von R-Rechtsmoduln, so sind die Abbildungen in der rechten Spalte Monomorphismen von End M-Linksmoduln. q.e.d.

Bemerkung. Ist l die Loewylänge von M_{R} und Lä_{S}SocM_{R} endlich, so gilt Lä_{S}M ≤ Lä_{S}SocM_{R} · ∑_{t=0}^{l−1} m_{t}.

Definition. Sei f : L → M ein Morphismus, S = End M und T = End L. Das Diagramm

[figure: L; M; f; L; M; f; t; s]

mit t ∈ T und s ∈ S legt folgende Begriffe nahe: Die Unterringe von T bzw. S

T [f] = {t ∈ T : ft = sf für ein s ∈ S}
[f]S = {s ∈ S : ft = sf für ein t ∈ T }

heißen Quellenring von f (in T) bzw. Zielring von f (in S).

T [f]_{0} = {t ∈ T : ft = 0} und _{0}[f]S = {s ∈ S : sf = 0},

das Quellen- bzw. Zielideal von f, sind Ideale in T [f] bzw. [f]S; die Faktoren

\overline{T [f]} = T [f]/T [f]_{0} und \overline{[f]S} = [f]S/_{0}[f]S

heißen (linker bzw. rechter) Eigenring von f. Lemma 22. Mit den Bezeichnungen der Definition gilt:

1. Die Eigenringe \overline{T [f]} und \overline{[f]S} sind zueinander isomorph mittels α : \overline{t} → \overline{s}, falls s und t obiges Diagramm kommutativ machen.

2. Ist L_{R} projektiv und f Epimorphismus, so ist End M ≅ \overline{T [f]}.

2′. Ist M_{R} injektiv und f Monomorphismus, so ist End L ≅ \overline{[f]S}.

3. Ist L →^{f} M →^{g} N → 0 minimale projektive Präsentation, so ist [f]S = S[g]. 3′. Ist 0 → K →^{h} L →^{f} M minimale injektive Kopräsentation, so gilt [h]T =

T [f].

4. Falls es Ringhomomorphismen σ : A → [f]S und τ : A → T [f] gibt, die das Diagramm

[figure: T [f]; \overline{T [f]} ≅^{α} \overline{[f]S}; π; A; [f]S; σ; τ; π]

kommutativ machen, ist f : _{τ}L → _{σ}M ein A−R-Bimodulhomomorphismus. Insbesondere ist in der Situation von 2. die Abbildung f : L → _{α}M mit α = kan : T [f] → End M ein T [f] − R-Bimodulepimorphismus. Entsprechendes gilt in der Situation von 2’.

Beweis.

1. Die Abbildung α′ : T [f] → \overline{[f]S}, t ↦ \overline{s}, falls s und t das Diagramm kommutativ machen, hat den Kern T [f]_{0}.

2. Dies folgt aus 1. wegen _{0}[f]S = 0 und [f]S = End M.

3. Es ist S[g] ⊂ [f]S, da sich Komplexmorphismen nach links fortsetzen lassen; wegen g = Kokf gilt [f]S ⊂ S[g].

4. Nach Voraussetzung hat man f ∘ τ(a) = σ(a) ∘ f für a ∈ A, d. h. f ist A − R-Bimodulhomomorphismus. q.e.d.

Folgerung 23 (Ω überträgt Endoendlichkeit). Sei R linksartinsch, M ∈ ModR und f : P_{R} → M_{R} projektive Hülle. Bezeichne K = Kerf, T = End P_{R} und T [f] den Quellenring von f. M ist genau dann endoendlich, wenn _{T [f]}P endliche Länge hat. Mit M ist auch K endoendlich.

Beweis. Da R rechtsperfekt ist, existiert die projektive Hülle f : P → M, die nach Lemma 22 ein T [f] − R-Bimodulepimorphismus ist, also einen Bimodulisomorphismus

\overline{f} : P/RadP_{R} ⟶ M/RadM_{R}

induziert. Nach Lemma 20 hat _{T [f]}P genau dann endliche Länge, wenn _{End M}M von endlicher Länge ist.

Da jedes g ∈ T [f] auf K als Endomorphismus operiert, ist jeder End K_{R}- Untermodul von K auch ein T [f]-Untermodul und mit _{T [f]}P sind auch _{T [f]}K und _{End K}K von endlicher Länge. q.e.d.

Dual dazu hat man

Folgerung 24 (Ω^{−} überträgt Endoendlichkeit). Sei R rechtsartinsch, M ∈ ModR und f : M_{R} → E_{R} injektive Hülle. Bezeichne K = Kokf, S = End E_{R} und [f]S den Zielring von f. M ist genau dann endoendlich, wenn _{[f]S}E endliche Länge hat. Mit M ist auch K endoendlich. q.e.d.

Das Transponieren überträgt endliche Endolänge

Genauer soll folgende Aussage bewiesen werden:

Satz 25 (Tr überträgt Endoendlichkeit). Sei M_{R} ein endlich erzeugter Modul über einem artinschen PI-Ring R. M ist genau dann endoendlich, wenn der transponierte Modul TrM endoendlich ist.

Zur Formulierung der Hilfsaussagen und beim Beweis des Satzes verwenden wir folgende

Notation. Sei R ein zunächst semiperfekter Ring, M_{R} endlich präsentiert mit minimaler projektiver Präsentation

Q_{R} ⟶^{p} P_{R} ⟶^{g} M_{R} ⟶ 0

und sei TrM durch die exakte Folge _{R}P^{∗} →^{p^{∗}} _{R}Q^{∗} →^{g′} _{R}TrM → 0 wie vor Satz 7 gegeben. Wir bezeichnen die Endomorphismenringe der projektiven Moduln mit

S = End P_{R}, T = End Q_{R}, S^{∗} = End_{R}P^{∗} und T^{∗} = End_{R}Q^{∗}

und verwenden die durch die Diagramme

[figure: Q; P; p; Q; P; p; t; s; P^{∗}; Q^{∗}; p^{∗}; P^{∗}; Q^{∗}; p^{∗}; s^{∗}; t^{∗}; und]

gegebenen Quellen- und Zielringe von p und p^{∗} in T bzw. S.

Lemma 26 (Elimination von ∗). Der durch die Dualität ∗ gegebene Ringisomorphismus

End (P ⊕ Q)_{R} ≅ End_{R}(P ⊕ Q)^{∗}

induziert 1. Ringisomorphismen S ≅ S^{∗}, T ≅ T^{∗}, [p]S ≅ S^{∗}[p^{∗}] und T [p] ≅ [p^{∗}]T^{∗} und 2. semilineare Bimodulisomorphismen

S(Q_{R}, P_{R})_{T [p]} ≅ _{S^{∗}}(_{R}P^{∗},_{R}Q^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}}
∪  ∪
S(Sp)_{T [p]} ≅ _{S^{∗}}(S^{∗}p^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}}.

q.e.d.

Lemma 27. Folgende Aussagen sind äquivalent:

i) M_{R} hat einen projektiven Summanden.

ii) Der Kern der Abbildung S → Sp, s ↦ sp, ist nicht in RadS enthalten.

Beweis.

ii)⇒ i) Sei s ∈ S mit sp = 0 und s ∉ RadS. Dann ist Bis ⊄ RadP_{R} und es gibt einen Summanden P′_{⊕}|P_{R}, so daß die Komposition P →^{s} P →^{π} P′ surjektiv ist. Wegen πsp = 0 gibt es einen Homomorphismus h : M → P′, der das Diagramm kommutativ macht.

[figure: Q; P; p; M; g; 0; P; s; P′; π; h]

Mit πs ist auch h surjektiv und P′ ist Summand von M_{R}. i)⇒ ii) Sei M = M′_{R} ⊕ P′_{R} mit 0 ≠ P′_{R} projektiv. Dann zerfällt P →^{g} M →^{kan}

P′ und die Komposition s : P → M → P′ → P ist idempotenter Endomorphismus ≠ 0 mit sp = 0. Also ist s ∉ RadS. q.e.d.

Schließlich werden wir [RZ, Lemma 5] verwenden: Lemma 28. Sei R ein Ring, der über seinem Zentrum Z endlich erzeugt ist, und S ein rechtsnoetherscher Unterring von R, so daß R_{S} endlich erzeugt ist. Dann ist auch _{S}R endlich erzeugt.

Beweis. ZS_{S} ist als Untermodul von R_{S} endlich erzeugt, z. B. ZS_{S} = z_{1}S + ⋯ + z_{n}S für z_{i} ∈ Z. Dann ist auch _{S}ZS durch die z_{i} erzeugt, also ist jeder endlich erzeugte ZS-Linksmodul als S-Linksmodul endlich erzeugt, insbesondere R. q.e.d.

Wir können jetzt Satz 25 beweisen. Beweis. Sei R artinscher PI-Ring. Wir verwenden obige Notation. Wegen Satz 7 und da alle projektiven R-Moduln endoendlich sind, können wir annehmen, daß M und TrM keine projektiven Summanden haben. Wir zeigen nur die Richtung ”TrM endoendlich ⇒ M endoendlich“ und halten uns dabei an folgenden Plan:

TrM endoendlich

1. Schritt:  ⇕

(Q^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}} von endlicher Länge

2. Schritt:  ⇓

(_{R}P^{∗},_{R}Q^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}} von endlicher Länge

3. Schritt:  ⇓

(Sp)_{T [p]} von endlicher Länge

4. Schritt (Ringwechsel):  ⇓
\overline{S}_{[p]S}  von endlicher Länge
5. Schritt (Seitenwechsel):  ⇓
[p]S\overline{S}  von endlicher Länge
6. Schritt:  ⇓

M endoendlich.

1. Schritt. g′ : _{R}Q^{∗} → _{R}TrM ist projektive Hülle, also ist TrM nach Folgerung 23 genau dann endoendlich, wenn (Q^{∗})_{T^{∗}[g′]} von endlicher Länge ist. Nach Lemma 22 gilt [p^{∗}]T^{∗} = T^{∗}[g′].

2. Schritt. Ist P_{R} Summand von R_{R}^{n}, so hat (_{R}P^{∗},_{R}Q^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}} als Summand von (Q^{∗})_{[p^{∗}]T^{∗}}^{n} endliche Länge.

3. Schritt. Elimination der Sterne (Lemma 26) liefert, daß auch (Q_{R}, P_{R})_{T [p]} und damit der Untermodul (Sp)_{T [p]} endliche Länge hat.

4. Schritt. Sei π : S → \overline{S} die Projektion auf den Radikalfaktor und μ : S → Sp die Komposition mit p. Nach Lemma 27 ist Kerμ in RadS enthalten, also gibt es einen Gruppenhomomorphismus γ : Sp → \overline{S}, der folgendes Diagramm kommutativ macht.

[figure: S; Sp; μ; \overline{S}; π; γ]

Bezeichne S̃ den Unterring ([p]S + RadS)/RadS in \overline{S}. Da Kerμ in RadS enthalten ist, haben wir den Ringhomomorphismus

α : T [p] ⟶ S̃, t ⟼ \overline{s}, falls pt = sp gilt,

der γ : (Sp)_{T [p]} → \overline{S}_{α} zum Epimorphismus von T [p]-Rechtsmoduln macht, denn für s, s′ ∈ S und t ∈ T mit pt = sp gilt in \overline{S}:

γ(s′pt) = γ(s′sp) = \overline{s′s} = \overline{s′} \overline{s} = γ(s′p) α(t).

Also hat mit (Sp)_{T [p]} auch \overline{S}_{[p]S} endliche Länge.

5. Schritt. Der halbeinfache PI-Ring \overline{S} hat nach Voraussetzung als S̃-Rechts-modul endliche Länge, also ist S̃ nach Folgerung 19 artinscher PI-Ring. Da \overline{S} endlich erzeugt über seinem Zentrum ist und als Rechtsmodul endlich erzeugt über dem rechtsnoetherschen Ring S̃ ist, liefert uns Lemma 28, daß S̃\overline{S} endlich erzeugt ist. Insgesamt haben wir also gezeigt, daß _{[p]S}\overline{S} endliche Länge hat.

6. Schritt. Mit R ist auch S linksartinsch, denn S ist Morita-äquivalent zu eRe für ein Idempotent e ∈ R. Nach Lemma 20 ist mit _{[p]S}\overline{S} auch _{[p]S}S von endlicher Länge. Mit R_{R} ist auch P_{R} endoendlich (Proposition 1), insbesondere ist _{S}P endlich erzeugt und es folgt, daß _{[p]S}P von endlicher Länge ist. Da Q →^{p} P →^{g} M projektive Präsentation ist, stimmen nach Lemma 22 die Ringe [p]S und S[g] überein und die Aussage ”_{S[g]}P von endlicher Länge“ ist nach Folgerung 23 zu ”M endoendlich“ äquivalent. q.e.d.

Die Dichotomie-Aussagen

Wir teilen die endlich erzeugten unzerlegbaren Moduln über einem artinschen PI-Ring in zwei Klassen, schwarze und weiße, ein und zeigen, daß die Komponenten des Auslander-Reiten-Köchers nur aus schwarzen oder nur aus weißen Moduln bestehen.

Quellen- und Senkenabbildungen

In diesem Abschnitt stellen wir die nötigen bekannten Aussagen aus der Darstellungstheorie zusammen. Quellen- und Senkenabbildungen sind die Bausteine zur Beschreibung der Homomorphismen in der Modulkategorie. Sie sind axiomatisch durch eine Forderung nach Nicht-Trivialität, eine Faktorisierungseigenschaft und eine Minimalitätsbedingung charakterisiert. Diese Abbildungen treten in der Regel paarweise in kurzen exakten Folgen, den Auslander-Reiten-Folgen, auf, bei deren Konstruktion in der Kategorie ModR die lokale Dualität und das Transponieren die entscheidende Rolle spielen. Mit den Ergebnissen aus dem ersten Kapitel haben wir die Existenz von AR-Folgen, die aus endlich erzeugten Moduln bestehen, unter Kontrolle. Bei der Kategorie A denken wir insbesondere an ModR oder modR.

Definition. Sei A eine Kategorie und seien A, C ∈ A.

1. Ein Morphismus f : A → B in A heißt Quellenabbildung zu A in A, falls folgende Axiome erfüllt sind: (Q1) f ist kein zerfallender Monomorphismus. (Q2) Zu jedem Morphismus y : A → Y in A, der kein zerfallender Monomorphismus ist, gibt es y′ : B → Y in A, so daß folgendes Diagramm kommutiert.

[figure: A; B; f; y; Y; ∃y′]

(Q3) Jeder Endomorphismus b von B in A mit bf = f ist Automorphismus.

2. Ein Morphismus g : B → C in A heißt Senkenabbildung zu C in A, falls folgende Axiome erfüllt sind: (S1) g ist kein zerfallender Epimorphismus. (S2) Zu jedem Morphismus z : Z → C in A, der kein zerfallender Epimorphismus ist, gibt es z′ : Z → B in A, so daß folgendes Diagramm kommutiert.

[figure: B; C; g; z; Z; ∃z′]

(S3) Jeder Endomorphismus b von B in A mit gb = g ist Automorphismus.

Bemerkung. Morphismen f : A → B, die (Q1-Q2) bzw. (Q3) bzw. (Q1-Q3) erfüllen, heißen in der Literatur auch links fast zerfallend bzw. links minimal bzw. minimal links fast zerfallend. Morphismen g : B → C, die (S1-S2) bzw. (S3) bzw. (S1-S3) erfüllen, heißen auch rechts fast zerfallend bzw. rechts minimal bzw. minimal rechts fast zerfallend.

Motivation vom kategoriellen Standpunkt. Seien A, C Moduln mit lokalem Endomorphismenring. Der kovariante Hom-Funktor (A, −) : ModR → Ab besitzt genau einen maximalen Unterfunktor (A, −)′, der für Y ∈ ModR durch

(A, Y)′ = {y ∈ (A, Y) : y ist kein zerfallender Monomorphismus}

gegeben ist. Falls (A, −)′ eine projektive Hülle (B, −) besitzt, hat die natürliche Transformation η : (B, −) → (A, −)′ ⊂ (A, −) nach dem Yoneda-Lemma die Form η = (f, −) für einen Homomorphismus f : A → B, der den Axiomen einer Quellenabbildung genügt. Entsprechend ist der maximale Unterfunktor (−, C)′ des kontravarianten Hom-Funktors (−, C) : ModR → Ab für Z ∈ ModR durch

(Z, C)′ = {z ∈ (Z, C) : z ist kein zerfallender Epimorphismus} gegeben. Existiert eine projektive Hülle (−, B) von (−, C)′, so erhält man eine Senkenabbildung g : B → C.

Es gilt nach [AR4, Prop. 2.2 und Lemma 2.3]:

Proposition 1 (Quellen- und Senkenabbildung sind Invarianten von Objekten mit lokalem Endomorphismenring). Sei A eine Kategorie und seien A, C ∈ A.

1. Sind f : A → B und f′ : A → B′ Quellenabbildungen in A, so gibt es einen Isomorphismus b : B → B′ in A mit f′ = bf.

2. Sind g : B → C und g′ : B′ → C Senkenabbildungen in A, so gibt es einen Isomorphismus b : B → B′ mit g′b = g.

3. Ist A additive Kategorie und M ∈ A, so daß eine Quellenabbildung oder eine Senkenabbildung zu M existiert, so hat M schon lokalen Endomorphismenring. q.e.d.

Beispiele. Sei R rechtsartinsch. Wie in [ARS, V, Cor. 1.6] überlegt man sich leicht:

1. Ist Q_{R} injektiv unzerlegbar, so ist die Projektion

f : Q ⟶ Q/SocQ_{R}

Quellenabbildung zu Q in ModR.

2. Sei P_{R} projektiv unzerlegbar. Die Einbettung des Radikals

g : RadP_{R} ⟶ P

ist Senkenabbildung zu P in ModR.

In einer abelschen Kategorie A treten weitere Quellen- und Senkenabbildungen paarweise in kurzen exakten Folgen auf:

Proposition 2 (Charakterisierung von AR-Folgen). Sei A abelsche Kategorie. Für eine nicht-zerfallende exakte Folge

E : 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0

sind äquivalent:

i) f ist Quellenabbildung.

ii) g ist Senkenabbildung.

iii) End_{A}(A) ist lokal und g erfüllt (S2).

iv) f erfüllt (Q2) und End_{A}(C) ist lokal. q.e.d.

Gilt eine der Aussagen der Proposition, heißt E Auslander-Reiten-Folge in A oder kurz AR-Folge in A. Der Beweis der Proposition findet sich in [A4, II, Prop. 4.4].

In der Kategorie A = ModR haben wir folgende Existenzaussage für AR-Folgen zur Verfügung. In der Tat begründet diese Aussage unser Studium von L und Tr im ersten Kapitel.

Satz 3 (Existenzsatz von Auslander für AR-Folgen). Sei R semiperfekter Ring und C ∈ indR nicht-projektiv. Es gibt eine AR-Folge in ModR

E : 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0.

Weiter läßt sich A aus C mittels A ≅ LTrC konstruieren.

Beweis. Die Aussage ist Spezialfall von [A4, I, Theorem 3.9]. Ein elementarer Beweis des Satzes findet sich in [Z2, Satz 1]. q.e.d.

Nota bene. A in E hat nach I, Satz 7 und Satz 8, lokalen Endomorphismenring, braucht aber nicht endlich präsentiert zu sein. Umgekehrt braucht nicht jeder Modul A ∈ ind_{I}R als Anfangsterm einer Folge E vorzukommen. Jedoch gilt:

Zusatz. Es folgt mit den Aussagen über L und Tr, daß auch zu jedem nichtinjektiven Modul A mit lokalem Endomorphismenring, der L-Duales eines endlich präsentierten Moduls ist, eine AR-Folge E wie im Satz existiert.

Bemerkung 4. Sei R eine Artin-Algebra oder ein Ring vom endlichen Typ. Aus obigem Satz, seinem Zusatz, dem Beispiel auf Seite 41 und I, Bemerkung 9, folgen die aus [A2] und [AR3] bekannten Aussagen:

• Zu jedem A ∈ indR gibt es eine Quellenabbildung f : A → B in ModR mit endlich erzeugtem Ziel B.

• Zu jedem C ∈ indR gibt es eine Senkenabbildung g : B → C in ModR mit endlich erzeugter Quelle B.

Schwarze und weiße Moduln

Jetzt können wir den Dichotomiesatz für Moduln beweisen. Anschließend konstruieren wir schwarze und weiße Moduln vom Dimensionstyp \binom{1}{1}, indem wir ein bißchen an der Kroneckeralgebra ”drehen“.

Satz 5 (Dichotomiesatz für Moduln). Sei R artinscher PI-Ring. Für M ∈ indR sind folgende Aussagen äquivalent:

i) M ist endoendlich.

ii) M ist reflexiv bezüglich der lokalen Dualität.

iii) Es gibt eine Quellenabbildung M → D in ModR mit endlich erzeugtem Ziel D_{R}.

iv) Es gibt eine Senkenabbildung B → M in ModR mit endlich erzeugter Quelle B_{R}.

Wir wollen einen Modul M ∈ indR weiß nennen, wenn er i) bis iv) in Satz 5 erfüllt, und schwarz, wenn er keiner dieser Bedingungen genügt. In vierfacher Hinsicht verhalten sich die weißen Moduln also wie Moduln über einer Artin-Algebra oder einem Ring vom endlichen Typ (I, Bemerkung 2 und Bemerkung 9, sowie II, Bemerkung 4).

Beweis. Sei M ∈ indR.

i)⇔ii) Nach I, Satz 15, gilt: Ist M endoendlich, so ist die Auswertungsabbildung M → LLM definiert und ein Isomorphismus; ist M nicht endoendlich, so ist M_{R} zu keinem Modul LLN mit N ∈ indR isomorph.

i)⇔iv) Ist M projektiv, so ist M nach I, Proposition 1, endoendlich und nach dem Beispiel auf Seite 41 Ziel einer Senkenabbildung. Ist M nichtprojektiv, so hat man die Äquivalenzen:

M endoendlich ⟺^{I, Satz 25} TrM endoendlich
⟺^{I, Satz 15} LTrM endlich erzeugt
⟺^{Sätze 1-3} es gibt eine Senkenabbildung
B → M mit B ∈ modR.

i)⇔iii) Ist M injektiv, so ist M als dualer eines projektiven Moduls endoendlich (I, Satz 8) und nach dem Beispiel auf Seite 41 Anfangsterm einer Quellenabbildung. Falls M nicht-injektiv ist, hat man die Aussagen: M endoendlich

I, Sätze 15 und 8

⟺ M ≅ LW für ein W ∈ Rind_{P}

⟺^{I, Satz 7}  M ≅ LTrC für ein C ∈ ind_{P}R
⟹^{Satz 3}  es gibt eine Quellenabbildung
f : M → B mit B ∈ modR.

In der letzten Zeile gilt auch die Rückrichtung: Da die injektive Hülle e : M → E(M) kein zerfallender Monomorphismus ist, faktorisiert e durch f und f ist injektiv. Nach Proposition 2 ist E : 0 → M →^{f} B →^{Kok} C → 0 AR-Folge in ModR, also C ∈ ind_{P}R, und nach der Eindeutigkeitsaussage Proposition 1 sind M und LTrC isomorph.q.e.d.

Wir werden jetzt einige Varianten R zur Kroneckeralgebra betrachten. Schwarze Moduln treten hier genau dann auf, wenn R keine Artin-Algebra ist.

Notation. Die meisten Beispiele in dieser Arbeit sind Dreiecks-Matrizenringe:

Seien S und T Ringe und _{S}B_{T} ein Bimodul. R = ( \begin{matrix}S & B \\ 0 & T \end{matrix} ) wird mit der kom-

ponentenweisen Addition und der Multiplikation ({s_{1} \atop 0} {b_{1} \atop t_{1}} ) ({s_{2} \atop 0} {b_{2} \atop t_{2}} ) = ({s_{1}s_{2} \atop 0} {s_{1}b_{2}+b_{1}t_{2} \atop t_{1}t_{2}} ) zu einem Ring. R-Rechtsmoduln M lassen sich durch Tripel (M′ ∈ ModS, M′′ ∈ ModT, μ ∈ (M′ ⊗_{S} B_{T} , M′′_{T})) beschreiben, Homomorphismen f : M → N sind Paare (f′ ∈ (M′_{S}, N′_{S}), f′′ ∈ (M′′_{T}, N′′_{T})), die folgendes Diagramm kommutativ machen.

[figure: N′ ⊗_{S} B; N′′; ν; M′ ⊗_{S} B; M′′; μ; f′ ⊗ 1; f′′]

Wichtige Eigenschaften von R lassen sich an den Bausteinen S, T und B ablesen, insbesondere ist R genau dann rechtsartinsch, wenn S_{S}, T_{T} und B_{T} von endlicher Länge sind. Hat man einen (eventuell auch größeren) Matrizenring R, dessen Ringe auf der Diagonale lokale Ringe sind, so bezeichnen wir mit e_{i} das i-te Matrixidempotent und mit P_{i} = e_{i}R, E_{i} = P_{i}/RadP_{i} und I_{i} = E(E_{i}) die projektiven unzerlegbaren, bzw. einfachen bzw. injektiven unzerlegbaren R-Rechtsmoduln. Wir nehmen an, daß P_{i}, E_{i} und I_{i}, falls sie endlich präsentiert sind, die Repräsentanten in indR sind.

Beispiel. Sei K Körper und α : K → K Körpermonomorphismus. Durch α sind zwei Unterkörper von K gegeben, das Bild Biα und die Fixpunkte Fixα. Damit der folgende Ring linksartinsch ist, fordern wir dim_{Biα}K < ∞. Mit _{α}K bezeichnen wir den K − K-Bimodul K, auf dem K von links mittels α operiert.

Der Matrizenring R = ( \begin{matrix}K & _{α}K ⊕ K \\ 0 & K \end{matrix} ) ist ein erblicher artinscher PI-Ring (ver-

gleiche I, Proposition 6). Das Zentrum von R ist Fixα, also ist R genau dann Artin-Algebra, wenn dim_{Fixα}K < ∞ ist. Wir interessieren uns für die Menge ind^{\binom{1}{1}}R der Moduln M in indR mit \underline{dim} M = \binom{1}{1}. Dabei ist der Dimensionsvektor eines R-Moduls M = (M′, M′′, μ) als \underline{dim} M = \binom{dim M′_{K}}{dim M′′_{K}} gegeben. Ein Modul M ∈ ind^{\binom{1}{1}}R hat projektive Präsentation 0 → P_{2} →^{f_{mn}} P_{1} → M → 0. Die Bilder der f_{mn} : P_{2} → P_{1}, 1 ↦ (0, (m, n)), sind durch (m : n) ∈ IP_{1}(K) parametrisiert. Wir bezeichnen Kokf_{mn} mit M_{(m:n)}. Mit Hilfe der projektiven Präsentationen bestimmen wir die Homomorphismen ≠ 0 zwischen solchen Moduln: Ein Homomorphismus M_{(m:n)} → M_{(m′:n′)} ist gegeben durch diejenigen g ∈ K^{∗} = K\{0} = Aut P_{1} und h ∈ K^{∗} = Aut P_{2}, die folgendes Diagramm kommutativ machen.

[figure: 0; P_{2}; 0; P_{2}; h; P_{1}; f_{m′n′}; P_{1}; f_{mn}; g; M_{(m′:n′)}; M_{(m:n)}; 0; 0]

Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn (m′h, n′h) = (α(g)m, gn) ist, d. h. wenn (m′ : n′) = (\frac{α(g)}{g}m : n) und h passend ist. Bezeichnet α̃ folgende Operation von K^{∗} auf IP_{1}(K),

α̃ : K^{∗} × IP_{1}(K), (g, (m : n)) ↦ (\frac{α(g)}{g}m : n),

so gilt also:

• Es gibt eine Bijektion α̂ : ind^{\binom{1}{1}}R ⟷ Bahnen von α̃.

• Die natürliche Abbildung vom Stabilisator stabα̃(m : n) in die Automorphismengruppe Aut M_{(m:n)} ist ein Gruppenisomorphismus.

Man erhält damit bei geeigneter Anordnung von K folgendes Bild.

0 (m, n) ∈ K × K  (m : n) ∈ IP_{1}(K) Bahnen von α̃

Während die Moduln mit Dimensionsvektor \binom{1}{1} über der klassischen Kroneckeralgebra (α = id) durch die linearen Geraden parametrisiert sind, können hier die linearen Geraden, die nicht mit einer der Achsen zusammenfallen, zu ”Sektoren“ ausarten. Die beiden Achsen entsprechen unter α̂ stets weißen Moduln, während die ”Sektoren“ weißen oder schwarzen Moduln entsprechen können:

M  M_{(1:0)}  M_{(0:1)}  M_{(a:1)}, a ∈ K^{∗}
End M  K  K  Fixα
Endolänge (M) 2 1 + dim_{Biα}K < ∞ 2 · dim_{Fixα}K

Bemerkungen und Spezialfälle.

1. Schwarze Moduln treten hier sofort auf in folgendem Sinn: R ist genau dann keine Artin-Algebra, wenn dim_{Fixα}R = ∞ ist, was genau dann gilt, wenn M_{(1:1)} nicht endoendlich, also schwarz, ist.

2. Die Moduln in {M_{(m:n)} : (m : n) ∈ IP_{1}(Fixα) ⊂ IP_{1}(K)} sind paarweise nicht-isomorph. Sei also zum Beispiel k ein unendlicher Körper, K = k(X) der Quotientenkörper des Polynomrings und α : K → K der Körpermonomorphismus mit α(X) = X^{2}. Dann ist Fixα = k und es gibt genau zwei weiße und unendlich viele schwarze Moduln in ind^{\binom{1}{1}}R. Einer der beiden weißen Moduln hat Endolänge 2, der andere 3.

3. ”Je größer die Bahn, desto kleiner der Endomorphismenring“, sagt die Stabilisatorgleichung

|Bahnα̃(m : n)| = [K^{∗} : stabα̃(m : n)].

Ist beispielsweise K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 2 und α : K → K, a ↦ a^{2}, der (bijektive) Frobeniushomomorphismus, so liegen alle schwarzen Moduln auf einer Bahn, weil für alle m, m′ ∈ K^{∗} gilt, daß (m′ : 1) = α̃(\frac{m′}{m} , (m : 1)) ist. Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen schwarzen Modul vom Dimensionsvektor \binom{1}{1} und dessen Endomorphismenring ist zweielementig.

Schwarze und weiße Komponenten des AR-Köchers

Sei A ∈ indR und A → ∐ B_{i}^{m_{i}} Quellenabbildung, wobei die B_{i} paarweise nichtisomorphe Moduln mit lokalem Endomorphismenring sind. Die Isomorphieklassen der B_{i} und die Zahlen m_{i} sind nach Proposition 1 Invarianten von A. Aus diesen und den entsprechenden aus Senkenabbildungen erzeugten Daten läßt sich der Auslander-Reiten-Köcher aufbauen. Wir weichen dabei leicht vom Konzept des Translationsköchers in [Rie] ab, um durch A [figure]∞ bzw. ∞ [figure]A andeuten zu können, daß an der Stelle ∞ kein endlich erzeugter Modul stehen kann bzw. ein Modul auftritt, der nicht endlich erzeugt ist. Damit zeigen wir, daß sich die Schwarz-Weiß-Einteilung der Moduln über einem artinschen PI-Ring auf die Komponenten des Auslander-Reiten-Köchers überträgt.

Definition. Ein Morphismus f : M → N in einer Kategorie A heißt irreduzibel, wenn er folgenden Axiomen genügt: (I1) f ist kein zerfallender Monomorphismus und kein zerfallender Epimorphismus. (I2) Ist f = hg Komposition zweier Morphismen, so ist g ein zerfallender Monomorphismus oder h ein zerfallender Epimorphismus.

Aus [AR4, Theorem 2.4] haben wir:

Satz 6 (Charakterisierung irreduzibler Morphismen). Sei A abelsche Kategorie und seien A, C ∈ A mit lokalem Endomorphismenring.

1. Gebe es eine Senkenabbildung g : B → C. Dann ist g′ : B′ → C genau dann irreduzibel, wenn B′ ≠ 0 ist und es einen Morphismus g′′ : B′′ → C gibt, so daß der induzierte Morphismus (g′, g′′) : B′ ⊕ B′′ → C Senkenabbildung ist.

2. Gebe es eine Quellenabbildung f : A → B. Dann ist f′ : A → B′ genau dann irreduzibel, wenn B′ ≠ 0 ist und es einen Morphismus f′′ : A → B′′ gibt, so daß der induzierte Morphismus (f′, f′′)^{t} : A → B′ ⊕ B′′ Quellenabbildung ist. q.e.d.

Beispiel. Sei f : A → B Quellenabbildung oder g : B → C Senkenabbildung und sei B = ∐ B_{i}^{m_{i}} direkte Summe, wobei die B_{i} paarweise nicht-isomorphe Objekte mit lokalem Endomorphismenring sind. Die induzierten Abbildungen

f_{ij} : A → B_{i} bzw. g_{ij} : B_{i} → C für j = 1, …, m_{i}

sind irreduzible Morphismen zwischen Moduln mit lokalem Endomorphismenring.

Motivation vom kategoriellen Standpunkt. Ein Ideal r einer abelschen Kategorie A besteht aus Untergruppen r(M, N) ⊂ (M, N) für M, N ∈ A, so daß (N, N′) r(M, N) (M′, M) ⊂ (M′, N′) gilt für M, M′, N, N′ ∈ A. Insbesondere ist das Radikal von A

rad(M, N) = {f ∈ (M, N) : für T ∈ A mit End T lokal, g ∈ (T, M)

und h ∈ (N, T) ist hfg kein Isomorphismus}

ein Ideal. (Beweis wie [ARS, V, Prop. 7.1].) Definiert man induktiv

rad^{n}(M, N) = {f ∈ (M, N) : es gibt D ∈ A, g ∈ rad(M, D) und
h ∈ rad^{n−1}(D, N) mit f = hg},
rad^{∞}(M, N) = ⋂_{n∈IN} rad^{n}(M, N),

so ist ein Morphismus f : M → N zwischen unzerlegbaren Objekten genau dann irreduzibel, wenn f ∈ rad(M, N)\rad^{2}(M, N) ist. (Beweis wie [ARS, V, Prop. 7.3].) Der Bimodul der irreduziblen Morphismen

irr(M, N) = rad(M, N)/rad^{2}(M, N)

ist, falls M und N lokalen Endomorphismenring haben, sogar ein Bimodul über den Schiefkörpern K_{M} = End M/RadEnd M und K_{N}. Die Dimensionen lassen sich mit Hilfe von Quellen- und Senkenabbildungen berechnen:

Proposition 7. Sei A abelsche Kategorie und seien A, C Objekte in A mit lokalem Endomorphismenring.

1. Gibt es eine Quellenabbildung A → B und eine Zerlegung B = ∐ B_{i}^{m_{i}}, so daß die B_{i} paarweise nicht-isomorph sind und lokalen Endomorphismenring haben, so gilt m_{i} = dim_{K_{B_{i}}}irr(A, B_{i}).

2. Gibt es eine Senkenabbildung B → C und eine Zerlegung von B wie in 1., so gilt m_{i} = dim irr(B_{i}, C)_{K_{B_{i}}}. q.e.d.

Der Beweis kann wie in [ARS, VII, Prop. 1.3] geführt werden. Bezeichnet man für f ∈ rad(M, N) mit \overline{f} die Restklasse in irr(M, N), so gilt für die Abbildungen aus dem Beispiel: \{\overline{f}_{i1}, …, \overline{f}_{i m_{i}}\} ist Basis von _{K_{B_{i}}}irr(A, B_{i}) und \{\overline{g}_{i1}, …, \overline{g}_{im_{i}}\} ist Basis von irr(B_{i}, C)_{K_{B_{i}}}.

Definition. Sei Γ ein Köcher mit Punktmenge Γ_{0} und Pfeilmenge Γ_{1} ⊂ Γ_{0} × Γ_{0}. Für α = (x, y) ∈ Γ_{1} bezeichne q(α) = x die Quelle und z(α) = y das Ziel. Für y ∈ Γ_{0} sei y^{−} = {x ∈ Γ_{0} : (x, y) ∈ Γ_{1}} die Menge der Vorgänger und y^{+} = {z ∈ Γ_{0} : (y, z) ∈ Γ_{1}} die Menge der Nachfolger von y. Ein Translationsköcher (Γ, τ) besteht aus einem Köcher Γ sowie einer Teilmenge

τ ⊂ Γ_{0} ∪ {∞} × Γ_{0} ∪ {∞},

die folgende Axiome erfüllt, wobei P = {x ∈ Γ_{0} : (x, Γ_{0} ∪ {∞}) ∩ τ = ∅} und I = {y ∈ Γ_{0} : (Γ_{0} ∪ {∞}, y) ∩ τ = ∅} bezeichnen.

(T0) τ induziert Abbildungen

τ : Γ_{0}\P ⟶ Γ_{0} ∪ {∞}, x ↦ y, falls (x, y) ∈ τ und
τ^{−} : Γ_{0}\I ⟶ Γ_{0} ∪ {∞}, y ↦ x, falls (x, y) ∈ τ.

(T1) Γ enthält keine Schlaufen, das heißt für α ∈ Γ_{1} gilt q(α) ≠ z(α).

(T2) Für x, z in Γ_{0} mit x = τz gilt x^{+} = z^{−}.

Ein Translationsköcher heißt (τ−)stabil, falls P = I = ∅ gilt und τ : Γ_{0} → Γ_{0} eine Bijektion ist und (τ−)isoliert, falls für alle x ∈ Γ_{0} gilt: τ^{−}x = ∞ = τx. Bezeichne (→P_{∞}) ⊂ Γ_{1} die Menge der Pfeile α mit z(α) ∈ P oder τ(z(α)) = ∞ und (I_{∞} →) ⊂ Γ_{1} diejenigen Pfeile α mit q(α) ∈ I oder τ^{−}(q(α)) = ∞. Durch (T2) definiert die Translation eine Bijektion

σ : Γ_{1}\(→P_{∞}) ⟶ Γ_{1}\(I_{∞} →), α = (x, y) ⟼ σ(α) = (τy, x),

die Semitranslation. Eine Bewertung eines Köchers Γ = (Γ_{0}, Γ_{1}) ist ein Paar von Abbildungen d, d′ : Γ_{1} → IN ∪ {∞}. Ist (Γ, τ) Translationsköcher mit Semitranslation σ, so ist zusätzlich gefordert: (T3) Für α ∈ Γ_{1} gilt: d(α) = d′(σ(α)). Eine Bewertung (d, d′) von (Γ, τ) heißt homogen, falls gilt: (T4) Für α ∈ Γ_{1} gilt: d′(α) = d(σ(α)). In einem Translationsköcher tragen wir die Bewertung als Index der Pfeile an; anstelle der Bewertung (n, n) schreiben wir auch n Pfeile. Ein Köcher, dessen Pfeile alle mit (1, 1) bewertet sind, heißt trivial bewertet.

Beispiel. Den trivial bewerteten Köcher

1 ⟶ 2 ⟶ 3 ⟶ 4 ⟶ ⋯

bezeichnen wir mit A_{∞}. Zu einem bewerteten Köcher Δ ohne Schlaufen erhalten wir einen τ-stabilen homogen bewerteten Translationsköcher ZZΔ:

ZZΔ_{0} = {(i, b) : i ∈ ZZ, b ∈ Δ_{0}}
ZZΔ_{1} = {(i, α) : (i, x) → (i, y) : i ∈ ZZ, α : x → y ∈ Δ_{1}}

∪ {σ(i, α) : (i − 1, y) → (i, x) : i ∈ ZZ, α : x → y ∈ Δ_{1}}

d(i, α) = d′(σ(i, α)) = d_{Δ}(α)
d′(i, α) = d(σ(i, α)) = d′_{Δ}(α)
τ(i, x) = (i − 1, x).

So hat ZZA_{∞} folgende Gestalt.

[figure: (0, 2); (0, 1); (1, 2); (1, 1); (2, 2); (2, 1); (−1, 4); (−1, 3); (0, 4); (0, 3); (1, 4); (1, 3); ⋯; ⋯; ⋮]

Definition. Ein Morphismus π : Γ → Δ zwischen (bewerteten) Translationsköchern ist ein Köchermorphismus, der mit der Translation (und der Bewertung) verträglich ist. Weiter ist für x ∈ Γ_{0} gefordert, daß τ_{Γ}x = ∞ bzw. τ_{Γ}^{−}x = ∞ impliziert, daß τ_{Δ}πx = ∞ bzw. τ_{Δ}^{−}πx = ∞ ist. Eine Überlagerung π : Γ → Δ ist ein surjektiver Morphismus von (bewerteten) Translationsköchern, der für jedes x ∈ Γ_{0} Bijektionen x^{−} → (πx)^{−} und x^{+} → (πx)^{+} induziert. Ferner soll P_{Γ} in P_{Δ} und I_{Γ} in I_{Δ} abgebildet werden. Eine nicht-leere Zusammenhangskomponente des Graphen von Γ nennen wir kurz Komponente von Γ. Die Translationsköcher ZZA_{∞} und die von ZZA_{∞} überlagerten Röhren ZZA_{∞}/ < τ^{n} > vom Durchmesser n ∈ IN heißen quasi-einreihig; die Punkte am unteren Rand von ZZA_{∞} bzw. von ZZA_{∞}/ <τ^{n} > werden quasi-einfach genannt.

Zu einem rechtsartinschen Ring R läßt sich ein bewerteter Translationsköcher, der Auslander-Reiten-Köcher, kurz AR-Köcher, Γ_{R} (von ModR) definieren.

Γ_{0} = indR
Γ_{1} = {A → X ∈ Γ_{0} × Γ_{0} : A, X ∈ indR und es gibt einen

in ModR irreduziblen Morphismus A → X}

d(α) = sup{m ∈ IN : B → C ist Senkenabbildung in ModR

und X^{m}_{⊕}|B} für α : X → C ∈ Γ_{1}

d′(α) = sup{n ∈ IN : A → B ist Quellenabbildung in ModR

und X^{n}_{⊕}|B} für α : A → X ∈ Γ_{1}

τ ⊂ Γ_{0} ∪ {∞} × Γ_{0} ∪ {∞} enthält genau folgende Elemente.

A [figure]C, falls A, C ∈ indR ist und es eine AR-Folge

0 → A → B → C → 0 in ModR gibt

∞ [figure]C, falls C ∈ indR ist und es keine Senkenabbildung

B → C in ModR mit B endlich erzeugt gibt

A [figure]∞, falls A ∈ indR ist und es keine Quellenabbildung

A → B in ModR mit B endlich erzeugt gibt.

Ersetzt man in dieser Definition ModR durch modR, erhält man den AR-Köcher γ_{R} von modR. Da R rechtsartinsch ist, gilt rad(A, A) = rad^{2}(A, A) für A ∈ indR, also haben Γ_{R} und γ_{R} keine Schlaufen. Damit ist (T1) nachgewiesen. (T2) und (T3) folgen aus Satz 6 und Proposition 2.

Nota bene. In den Beispielköchern Γ dieser Arbeit enden oder beginnen womöglich weitere Pfeile an den Punkten x ∈ Γ_{0} mit τx = ∞ bzw. τ^{−}x = ∞.

Für eine Komponente C von γ_{R} oder von Γ_{R} sagen wir, C hat AR-Folgen, falls τ_{C} ⊂ γ_{0} × γ_{0} bzw. τ_{C} ⊂ Γ_{0} × Γ_{0} ist, d. h. falls zu jedem M ∈ C eine Quellen- und eine Senkenabbildung in modR bzw. in ModR bestehend aus endlich erzeugten Moduln existiert.

Wir können jetzt zeigen, daß die Komponenten des AR-Köchers Γ_{R} bei artinschen PI-Ringen R stets aus Moduln einer ”Farbe“ bestehen.

Satz 8 (Dichotomiesatz für Komponenten). Sei R artinscher PI-Ring und C eine Komponente von Γ_{R}. Entweder hat C AR-Folgen oder zu keinem Modul in C existiert eine Quellen- oder eine Senkenabbildung in ModR mit endlich erzeugtem Ziel- bzw. Quellenmodul.

Beweis. Wir werden für einen in ModR irreduziblen Morphismus f : M → N zwischen Moduln mit lokalem Endomorphismenring zeigen, daß M genau dann endlich erzeugt ist und einer der Bedingungen im Dichotomiesatz für Moduln (Satz 5) genügt, wenn dies für N gilt.

\underline{⟹} Sei s : B → M eine Senkenabbildung und q : M → D eine Quellenabbildung mit endlich erzeugten Moduln B und D. Da f irreduzibel ist, ist N nach Satz 6 isomorph zu einem Summanden von D und damit endlich erzeugt. Wir können annehmen, daß N nicht projektiv ist, denn sonst wäre N als Summand des endoendlichen Moduls R_{R} selbst endoendlich (I, Proposition 1). Dann gibt es nach Satz 3 eine AR-Folge 0 → E → F → N → 0. Wir zeigen, daß E endlich erzeugt ist. Dazu wenden wir Satz 6 der Reihe nach auf die vertikalen Morphismen in folgendem Diagramm an:

[figure: 0; E; F; B; M; s; ⊕; ⊕; N; D; q; ⊕; f; 0]

• Da f irreduzibel ist, ist M_{⊕}|F.

• Die Komposition E → F → M ist irreduzibel.

• Es ist E_{⊕}|B, insbesondere ist E endlich erzeugt.

\underline{⟸} Wir betrachten zuerst den Fall, daß N_{R} projektiv ist. Dann ist RadN_{R} → N eine Senkenabbildung und es ist M_{⊕}|RadN_{R} nach Satz 6. Da N endoendlich ist, hat der End N_{R}-Untermodul RadN_{R} endliche End N_{R}-Länge. Insbesondere ist RadN_{R} endoendlich, und damit nach I, Proposition 1, auch der Summand M. Ist N_{R} nicht-projektiv, so gibt es nach Satz 3 eine AR-Folge 0 → E → F → N → 0, die nach Voraussetzung aus endlich erzeugten Moduln besteht. Wendet man Satz 5 auf E an, erhält man eine Senkenabbildung G → E mit endlich erzeugtem G. Wir können (wie oben für N) annehmen, daß M nicht-projektiv ist. Sei also 0 → A → B → M → 0 AR-Folge. Wir zeigen durch iterierte Anwendung von Satz 6 auf die vertikalen Morphismen in folgendem Diagramm, daß A endlich erzeugt ist.

[figure: 0; A; 0; E; B; ⊕; ⊕; G; F; M; ⊕; N; f; 0; 0]

• Wegen f irreduzibel ist M_{⊕}|F.

• Die Komposition E → F → M ist irreduzibler Morphismus.

• E ist isomorph zu einem Summanden von B.

• Die Komposition A → B → E ist irreduzibler Morphismus.

• Es ist A_{⊕}|G; insbesondere ist A endlich erzeugt. q.e.d.

Komponenten mit ”grauen“ Moduln

Zur Einführung schildern wir an einem wohlbekannten Beispiel die Bedeutung des AR-Köchers für die Beschreibung der Homomorphismen in der Modulkategorie. Durch eine kleine Manipulation erhalten wir in Beispiel 2 einen artinschen Ring, der keiner Polynomidentität genügt und für den die Dichotomiesätze nicht gelten: Im AR-Köcher tritt eine Abbruchkante bestehend aus ”grauen“ Moduln auf. Mit einer Verklebung nach Martinez konstruieren wir im dritten Beispiel eine Komponente des AR-Köchers, deren Moduln beliebig großen Abstand von der Abbruchkante haben.

Beispiel 1. Sei K ein Schiefkörper und R = ( \begin{matrix}K & K & K & K \\ 0 & K & K & K \\ 0 & 0 & K & K \\ 0 & 0 & 0 & K \end{matrix} ) der Ring der

oberen Dreiecksmatrizen. R ist beidseitig artinsch, erblich (d. h. jeder Untermodul eines projektiven Moduls ist selbst projektiv) und einreihig (d. h. jeder projektive unzerlegbare Rechts- oder Linksmodul hat genau eine Kompositionsreihe). Wir verwenden die Notation von Seite 44 und schreiben P_{ij} = P_{i}/Rad^{j}P_{i}. Jeder Modul in indR ist isomorph zu einem der P_{ij}, insbesondere gilt E_{i} ≅ P_{i1} und I_{i} ≅ P_{1i}. Γ_{R} hat folgende Form, wie in [ARS, VII, §1] ausgeführt wird.

[figure: P_{3}; P_{4} = E_{4}; P_{2,2}; E_{3}; I_{2}; E_{2}; E_{1} = I_{1}; P_{2}; I_{3}; P_{1} = I_{4}; P_{2}]

Motivation vom kategoriellen Standpunkt. Bei Ringen R vom endlichen Typ sind die Homomorphismen in ModR durch den Auslander-Reiten-Köcher gegeben: Sei H bzw. H′ eine Menge, die für jeden Pfeil α : A → X in Γ_{R} irreduzible Morphismen f_{α,1}, …, f_{α,d(α)} bzw. f′_{α,1}, …, f′_{α,d′(α)} enthält, deren Restklassen in irr(A, X)_{K_{A}} bzw. _{K_{X}}irr(A, X) eine Basis bilden. Dann gilt:

• Jeder Modul in ModR ist isomorph zu einer Summe von Moduln in indR (Satz von Auslander und Ringel/Tachikawa für Ringe vom endlichen Typ).

• Jeder Homomorphismus zwischen Summen von Moduln in indR ist durch eine spaltenendliche Matrix gegeben, deren Einträge Homomorphismen zwischen Moduln in indR sind.

• Jeder Homomorphismus g : A → C mit A, C ∈ indR hat die Form

g = ∑_{i=1}^{n} h_{i,1} ⋯ h_{i,n_{i}}a_{i} bzw. g = ∑_{i=1}^{m} c_{i}h′_{i,1} ⋯ h′_{i,m_{i}}

mit h_{i,j} ∈ H und a_{i} ∈ Aut A bzw. h′_{i,j} ∈ H′ und c_{i} ∈ Aut C. (Dies folgt aus der Faktorisierungseigenschaft einer Senken- bzw. Quellenabbildung und der Abbruchbedingung im Lemma von Harada/Sai [ARS, VI,Cor. 1.3] bei Ringen vom endlichen Typ.)

Allgemein gilt für einen rechtsartinschen Ring R und Moduln A, C ∈ indR und Y, Z ∈ ModR: Sind A und C in einer Komponente mit AR-Folgen, so sind die Homomorphismen in (A, Y) bzw. in (Z, C) bis auf Homomorphismen in rad^{∞}(A, Y) bzw. in rad^{∞}(Z, C) durch den AR-Köcher gegeben.

Beispiel 2. Sei F ⊂ G die schon auf Seite 26 vorkommende Cohnsche Schiefkörpererweiterung. Wir nehmen allerdings diesmal an, daß dim_{F} G = p < ∞ und dim G_{F} = ∞ ist. Nach einer Bemerkung in [C, 5.6.1] können wir F und G so wählen, daß |G| = dim G_{F} ist.

( \begin{matrix}_{F} G_{G} \\ _{F} G_{G} \\ _{F} G_{G} \end{matrix} ) ist ein ( \begin{matrix}F & F & F \\ 0 & F & F \\ 0 & 0 & F \end{matrix} ) − G-Bimodul und R = ( \begin{matrix}F & F & F & _{F} G_{G} \\ 0 & F & F & _{F} G_{G} \\ 0 & 0 & F & _{F} G_{G} \\ 0 & 0 & 0 & G \end{matrix} ) ein

artinscher, erblicher und rechtseinreihiger Ring. Mit den Bezeichnungen wie im 1. Beispiel ergibt sich folgender Ausschnitt von Γ_{R}.

[figure: P_{2,2}; E_{3}; I_{2}; E_{2}; E_{1} = I_{1}; I_{3}; ∞; ∞; ∞]

Womöglich enden weitere Pfeile in E_{3}, P_{2,2} oder in I_{3}. Wir überlegen uns am Beispiel P_{2,2}, daß die dualen Moduln der transponierten der Moduln am linken Rand dieses Köchers nicht endlich erzeugt sind. Zur Vereinfachung der Notation fassen wir Moduln als Viertupel (V_{1F} , V_{2F} , V_{3F} , V_{4G}) von Vektorräumen auf. P_{2,2} ist endoendlich und hat minimale projektive Präsentation

P_{4} = (000G) ⟶^{ι} P_{2} = (0F F G) ⟶ P_{2,2} = (0F F 0).

Dann ist das Transponierte gegeben durch

P_{2}^{∗} = ( \begin{matrix}F \\ F \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ⟶^{ι^{∗}} P_{4}^{∗} = ( \begin{matrix}_{F} G \\ _{F} G \\ _{F} G \\ G \end{matrix} ) ⟶ TrP_{2,2} = ( \begin{matrix}_{F} G/F \\ _{F} G/F \\ _{F} G \\ G \end{matrix} ) ⟶ 0.

Es ist End TrP_{2,2} = {g ∈ G = End P_{4}^{∗} : F g ⊂ F } = F, wobei die Operation von F auf TrP_{2,2} durch die komponentenweise Multiplikation gegeben ist:

(TrP_{2,2})_{F} = G_{F} ⊕ G_{F} ⊕ (G/F)_{F} ⊕ (G/F)_{F} .

Insbesondere ist TrP_{22} nicht mehr endoendlich. Folgender Untermodul von LTrP_{2,2} ist nicht endlich erzeugt:

\underbrace{((TrP_{2,2}/Rad_{R}TrP_{2,2})_{F} , F_{F})_{R}}_{(G_{F} , F_{F})_{G}}  ⊂  ((TrP_{2,2})_{F} , F_{F}) = LTrP_{2,2},

wobei |(G_{F} , F)| = |Abb(dim G_{F} , F)| = |F |^{|G|} > |R| ist nach unserer Annahme für G und F. Also ist auch LTrP_{2,2} nicht endlich erzeugt. Der Modul P_{2,2} selbst ist endoendlich, reflexiv bezüglich L und Anfangsterm einer Quellenabbildung, aber nicht Endterm einer Senkenabbildung mit endlich erzeugter Quelle. Dagegen ist _{R}TrP_{2,2} Endterm der AR-Folge mit Anfangsterm LP_{2,2} ≅ Re_{3}/Re_{1}. TrP_{2,2} ist aber, wie wir gesehen haben, nicht endoendlich, und der duale Modul ist nicht endlich erzeugt.

Beispiel 3. Durch ”Verkleben nach Martinez“ [MV] des Rings aus dem vorhergehenden Beispiel mit der Kroneckeralgebra zum Schiefkörper F erhält man einen Ring R und eine Komponente von Γ_{R} mit Moduln, die beliebig weit von der Abbruchkante am linken Rand von Beispiel 2 entfernt sind:

Seien F und G wie in Beispiel 2 und sei R der Matrizenring R =

( \begin{matrix}F & F ⊕ F & 0 & 0 \\ 0 & F & F & G \\ 0 & 0 & F & G \\ 0 & 0 & 0 & G \end{matrix} ). Es ist jeder unzerlegbare R-Rechtsmodul ein Modul über R_{1} = ( \begin{matrix}F & F ⊕ F \\ 0 & F \end{matrix} ) oder über R_{2} = ( \begin{matrix}F & F & G \\ 0 & F & G \\ 0 & 0 & G \end{matrix} ); E_{2} ist der einzige Modul in

indR, der sowohl als (projektiver) R_{1}-Modul, als auch als (injektiver) R_{2}-Modul aufgefaßt werden kann. Wir haben folgenden Ausschnitt der Komponente von Γ_{R} zu E_{2}:

[figure: E_{3}; I_{3}; E_{2}; ∞; ∞; P_{1}; •; •; •; ⋯]

Womöglich gibt es weitere Pfeile, die in E_{3} oder in I_{3} enden. Hier sind die Moduln rechts von E_{2} genau die präprojektiven Moduln über der Kroneckeralgebra (vgl. Seite 81).

Zur Umkehrung des Satzes von Auslander und Ringel/Tachikawa

Auslander [A2] und Ringel/Tachikawa [RT] haben gezeigt, daß Ringe R vom endlichen Typ rechts rein-halbeinfach sind, d. h. daß jeder R-Rechtsmodul Summe von Moduln aus indR ist. In diesem Abschnitt soll ein kurzer modultheoretischer Beweis für die (bekannte) Umkehrung des Satzes bei artinschen PI-Ringen gegeben werden.

Der Beweis der Umkehrung für Artin-Algebren geht auf Auslander [A3] zurück. Für PI-Ringe wurde die Aussage schon von Herzog [H, Theorem 6.7] bewiesen. Krause [Kr] konnte die Umkehrung sogar für rechts dualisierende Ringe zeigen, d. h. für Ringe, bei denen das Lokalduale von jedem endlich präsentierten endoendlichen R-Rechtsmodul wieder endlich präsentiert ist.

Satz 9 (von Herzog). Ein linksartinscher PI-Ring ist genau dann rechts reinhalbeinfach, wenn er vom endlichen Typ ist.

Zum Beweis benötigen wir eine Proposition und ein Lemma.

Proposition 10. Sei R rechts rein-halbeinfacher Ring, so daß zu jedem Modul in indR eine Quellenabbildung in ModR existiert. Dann ist R vom endlichen Typ.

Beweis. Die Beweisidee stammt aus [A3, Cor. 2.3]. Seien M_{i}, i ∈ I, paarweise nicht-isomorphe Moduln in indR und M = ∏_{i∈I} M_{i}. Nach Voraussetzung ist M Summe von Moduln aus indR. Wir zeigen, daß der reine Monomorphismus σ : ∐_{i∈I} M_{i} → ∏_{i∈I} M_{i} Isomorphismus ist. Dann ist I endlich.

1. Schritt. Nach Voraussetzung zerfällt σ, also kommt jedes M_{i} als Summand von M vor.

2. Schritt. Die einzigen unzerlegbaren Summanden N von M sind bis auf Isomorphie die M_{i}: Wir nehmen an, daß N zu keinem M_{i} isomorph ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Quellenabbildung q : N → B.

[figure: N; B; q; M; ι; M_{i}; π_{i} = kan; ∃f_{i}]

Nach Annahme ist kein π_{i}ι zerfallender Monomorphismus, also gibt es zu jedem i ∈ I ein f_{i} : B → M_{i} mit f_{i}q = π_{i}ι. Dann macht die Produktabbildung f = (f_{i})_{i∈I} das obere Teildiagramm kommutativ, d. h. fq = ι. Also ist mit ι auch q zerfallender Monomorphismus und wir haben einen Widerspruch.

3. Schritt. In einer Summenzerlegung von M kommt jedes M_{j}, j ∈ I, nur einmal vor: Es ist ∏_{i∈I} M_{i} ≅ M_{j} ⊕ ∏_{i≠j} M_{i}, und wie im 2. Schritt mit M′ = ∏_{i≠j} M_{i} statt M kommt M_{j} nicht als Summand von M′ vor. q.e.d.

Lemma 11. Sei M_{R} endlich präsentiert mit rechtsperfektem Endomorphismenring S. Erfüllt M die aufsteigende Kettenbedingung für endlich matrizielle Untergruppen, so ist M schon endoendlich.

Beweis. Da endlich erzeugte Endo-Untermoduln von M endlich matrizielle Untergruppen (nämlich von der Form Sm_{1} + … + Sm_{n} = {f(m_{1}, …, m_{n}) : f ∈ (M_{R}^{n}, M_{R})}) sind, hat M aufsteigende Kettenbedingung für endlich erzeugte Endo-Untermoduln. Also ist jeder Endo-Untermodul endlich erzeugt. Da S rechtsperfekt ist, erfüllt jeder S-Linksmodul die absteigende Kettenbedingung für zyklische Untermoduln, also nach dem Satz von Björk [Bj, Theorem 2] auch die absteigende Kettenbedingung für endlich erzeugte Untermoduln. Insgesamt haben wir gezeigt, daß _{S}M von endlicher Länge ist. q.e.d.

Es bleibt die Dann-Wenn-Richtung in Satz 9 zu zeigen.

Beweis. Ist R rechts rein-halbeinfach, so ist jeder R-Rechtsmodul Σ-rein-injektiv, erfüllt also die absteigende Kettenbedingung für endlich matrizielle Untergruppen (vgl. [Z1], [GJ] oder [JL, Theorem 8.1]). Dann erfüllt jeder R-Linksmodul die aufsteigende Kettenbedingung für endlich matrizielle Untergruppen [ZHZ, Theorem 6]. Sei R zusätzlich linksartinsch. Nach I, Proposition 3, hat jeder endlich erzeugte R-Linksmodul semiprimären Endomorphismenring, ist also nach Lemma 11 endoendlich. Insbesondere ist R artinsch. Genügt R weiter einer Polynomidentität, so überträgt das Transponieren endliche Endolänge (I, Satz 25) und jeder endlich erzeugte R-Rechtsmodul ist endoendlich. Satz 5 liefert, daß zu jedem M ∈ indR eine Quellenabbildung in ModR existiert. Nach Proposition 10 ist R vom endlichen Typ. q.e.d.

Auslander-Reiten-Köcher im erblichen Fall

In diesem Kapitel wollen wir anhand einiger Aussagen vorführen, daß der weiße Teil des AR-Köchers eines artinschen PI-Rings — ungestört von den schwarzen Moduln — die von Artin-Algebren bekannte Struktur aufweist. Insbesondere soll die Form der Komponenten im erblichen Fall untersucht werden. Damit sind wir in der Lage, abschließend zwei AR-Köcher genau zu beschreiben. Das wesentliche Hilfsmittel in diesem Kapitel, das dann den Einsatz von Kombinatorik ermöglicht, ist der ”Vergleich“ der lokalen Dualität L mit der Morita-Dualität M: Damit haben wir bei homologischen Argumenten den Funktor MTr zur Verfügung und können gleichzeitig die Dimensionsvektoren und das Auftreten von projektiven Moduln mit LM kontrollieren. Weiterhin gelten nach II, Satz 8, in weißen Komponenten zu artinschen PI-Ringen alle Ergebnisse, die nur die Existenz von AR-Folgen voraussetzen. So konnte Angeleri Hügel [Ang] zeigen, daß ein rechtsartinscher Ring R schon eine präprojektive Zerlegung im Sinne von Auslander/Smalø besitzt, wenn zu den präprojektiven Moduln Quellenabbildungen in der Kategorie modR existieren. Für Ringe R, die zusätzlich erblich sind, wird dort sogar die Umkehrung gezeigt.

Bimoduln irreduzibler Morphismen

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, daß die weißen Komponenten des AR-Köchers eines artinschen PI-Rings homogen bewertet sind. Sei dazu

E : 0 ⟶ A ⟶^{(f_{i}^{j})} ∐_{i} B_{i}^{m_{i}} ⟶^{(g_{i}^{j})} C ⟶ 0

Auslander-Reiten-Folge in ModR mit paarweise nicht-isomorphen Moduln B_{i}, deren Endomorphismenring lokal ist.

Die nicht-ausgeartete Bilinearform in folgendem Lemma 1 wird durch den Hom-Tensor Adjunktionsisomorphismus (Lemma 2) auf einen semilinearen Bimodulisomorphismus

irr(A, B_{i}) ⟶ (irr(B_{i}, C), K_{B_{i}})

mit K_{B_{i}} = End B_{i}/RadEnd B_{i} übertragen (Folgerung 3). Damit können wir zeigen (Folgerung 4), daß die Komponenten von Γ_{R} mit AR-Folgen homogen bewertet sind, wenn R ein artinscher PI-Ring ist.

Die nicht-ausgearteten Bilinearformen in Lemma 1 wurden in der Situation von Artin-Algebren schon von Igusa und Todorov untersucht [IT, §1]:

Lemma 1. Es gibt nicht-ausgeartete K_{B_{i}} − K_{B_{i}}-Bimodulhomomorphismen

σ_{i} : irr(A, B_{i}) ⊗_{K_{A}} _{ζ}irr(B_{i}, C) → K_{B_{i}}.

Dabei ist der Schiefkörperisomorphismus ζ : K_{A} → K_{C} für eine AR-Folge 0 → A →^{f} B →^{g} C → 0 wie folgt definiert. Zu a ∈ Aut A gibt es wegen der Faktorisierungseigenschaft (Q2) von f ein b ∈ End B mit bf = fa. Wegen der Minimalität (Q3) von f und der Eindeutigkeitsaussage II, Proposition 1, ist b Isomorphismus, also auch die Kokernabbildung c ∈ End C. Man überlegt sich leicht, daß a ↦ \overline{c} einen surjektiven Ringhomomorphismus End A → K_{C} mit Kern RadEnd A ergibt.

Beweis. Die Faktorisierungseigenschaft von E liefert Ringmonomorphismen

ϕ : K_{A} ⟶ ∏_{i} K_{B_{i}}^{m_{i}×m_{i}} ≅ End B/RadEnd B  und
ψ : K_{C} ⟶ ∏_{i} K_{B_{i}}^{m_{i}×m_{i}},

die das Diagramm

[figure: K_{A}; K_{C}; ∏_{i} K_{B_{i}}^{m_{i}×m_{i}}; ζ; ϕ; ψ]

kommutativ machen. Wir definieren ϕ_{i} = π_{i} ∘ ϕ und ψ_{i} = π_{i} ∘ ψ, wobei π_{i} die Projektion auf die i-te Komponente bezeichnet, wählen ein festes i, setzen X = B_{i} und lassen zur Vereinfachung der Notation den Index i weg.

Die Einträge von F = (\overline{f}^{1}, …, \overline{f}^{m})^{t} und G = (\overline{g}^{1}, …, \overline{g}^{m}) bilden eine Basis von K_{X}irr(A, X) bzw. irr(X, C)_{K_{X}}. Es gilt für a ∈ K_{A} und c ∈ K_{C} nach Definition von ϕ bzw. ψ

F · a = ϕ(a) · F und c · G = G · ψ(c),

wobei ”·“ die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Definiere

σ : irr(A, X) ⊗_{K_{A}} _{ζ}irr(X, C) ⟶ K_{X}, σ(f ⊗ g) = v · w

falls f = v · F und g = G · w mit v ∈ K_{X}^{1×m} und w ∈ K_{X}^{m×1} ist. Die bilineare Abbildung σ ist tensoriell, denn für a ∈ K_{A} gilt

σ(fa ⊗ g) = σ(v · ϕ(a) · F ⊗ G · w) = v · ϕ(a) · w und
σ(f ⊗ a•g) = σ(f ⊗ ζ(a) g) = σ(v · F ⊗ G · ψ( ζ(a) ) · w) = v · ψ( ζ(a) ) · w.

Offensichtlich ist dann σ ein Bimodulhomomorphismus, der nicht-ausgeartet ist. q.e.d.

Lemma 2 (Zum Hom-Tensor Adjunktionsisomorphismus). Seien R, S und T Ringe, _{R}B_{S}, _{S}Y_{T} und _{R}Z_{T} Bimoduln.

1. Der Adjunktionsisomorphismus

Hom−⊗ : (B ⊗_{S} Y_{T} , Z_{T}) ⟶ (B_{S}, (Y_{T} , Z_{T})_{S})

ist R − R-Bimodulisomorphismus.

2. ϕ ∈ (B ⊗_{S} Y_{T} , Z_{T}) ist genau dann R − T -Bimodulhomomorphismus, wenn Hom−⊗(ϕ) ein R − S-Bimodulhomomorphismus ist.

3. Sei _{R}B endlich präsentiert und Z_{T} injektiver Kogenerator, der links balanciert ist, d. h. jeder Endomorphismus von Z_{T} ist durch Linksmultiplikation gegeben. ϕ in 2. ist genau dann nicht-ausgearteter Bimodulhomomorphismus, wenn Hom−⊗(ϕ) Bimodulisomorphismus ist.

Beweis. 1. und 2. rechnet man leicht nach. Zum Beweis von 3. sei ϕ : B ⊗_{S} Y → Z ein R − T -Bimodulhomomorphismus. Es ist klar, daß ϕ genau dann links nicht-ausgeartet ist, wenn Hom−⊗(ϕ) Monomorphismus ist. Ist Hom−⊗(ϕ) Epimorphismus, so ist ϕ rechts nicht-ausgeartet, denn zu y ≠ 0 gibt es, weil Z_{T} Kogenerator ist, ein f ∈ (Y_{T} , Z_{T}) mit f(y) ≠ 0 und nach Voraussetzung existiert b ∈ B mit f = ϕ(b ⊗ −). Ist umgekehrt ϕ rechts nicht-ausgeartet, so ist Hom−⊗(ϕ) : Y_{T} → (_{R}B,_{R}Z)_{T} Monomorphismus, also gibt es zu f : Y_{T} → Z_{T} wegen der Injektivität von Z_{T} ein g : (_{R}B,_{R}Z)_{T} → Z_{T} mit f(y) = g(ϕ(−⊗y)) für y ∈ Y. Da_{R}B endlich präsentiert und Z_{T} injektiv ist, kommt g im Bild des Kon−⊗-Isomorphismus auf Seite 17 vor und es gibt ζ ∈ End Z_{T} und b′ ∈ B mit g(ψ) = ζ((b′)ψ) für ψ ∈ (_{R}B,_{R}Z). Da Z links balanciert ist, ist g durch Auswertung an einer Stelle b ∈ B gegeben und es ist f(y) = ϕ(b ⊗ y) für y ∈ Y. q.e.d.

Folgerung 3. Die Bimoduln

K_{B_{i}}irr(A, B_{i})_{K_{A}}  und  _{K_{B_{i}}}( irr(B_{i}, C)_{K_{B_{i}}}, K_{B_{i}} )_{ζ}

sind isomorph.

Beweis. Der Hom-Tensor Adjunktionsisomorphismus aus Lemma 2 bildet σ aus Lemma 1 auf den gewünschten Bimodulisomorphismus ab. q.e.d.

Folgerung 4. Sei R artinscher PI-Ring. Jede Komponente C ⊂ Γ_{R} mit AR-Folgen ist homogen bewertet.

Beweis. Seien A, C ∈ C, A = τ(C) und sei E eine AR-Folge wie oben. Nach II, Proposition 7, ist der Bimodul _{K_{C}}irr(B_{i}, C)_{K_{B_{i}}} auf jeder Seite endlichdimensional. Da R einer Polynomidentität genügt, sind die Schiefkörper K_{B_{i}} und K_{C} endlich dimensional über ihrem Zentrum und wir können das Lemma von Dowbor und Simson (I, Proposition 10) anwenden. Wir erhalten für die Bimoduln aus der Folgerung vorher

dim irr(A, B_{i})_{K_{A}} = dim_{K_{C}}irr(B_{i}, C) und
dim_{K_{B_{i}}}irr(A, B_{i}) = dim irr(B_{i}, C)_{K_{B_{i}}}.

Also ist C homogen bewerteter Translationsköcher. q.e.d.

Beispiel. Wir schließen diesen Abschnitt mit einem etwas barocken Beispiel dafür, daß selbst bei Ringen R vom endlichen Darstellungstyp die Bewertung (des stabilen Teils) von Γ_{R} nicht homogen zu sein braucht. Folgender Ring wurde schon von Hill und Krämer [Krä, (6.5)] untersucht: Sei _{K}B_{K} der Schofieldsche Bimodul aus [S, Seite 214-218]. Die Folge der Rechtsdimensionen der K − K-Bimoduln

B, B^{R} = (B_{K}, K), B^{2R}, B^{3R}, B^{4R}, …

ist 2, 1, 3, 1, 2, … mit Periode 5. Dabei sind B und B^{5R} semilinear isomorph, d. h. es gibt Automorphismen γ, δ von K und einen K − K-Bimodulisomorphismus γB_{δ} ≅ B^{5R}. K operiert dabei auf _{γ}B_{δ} von links mittels γ und von rechts mittels δ. Sei S_{i} = ( \begin{matrix}K & B^{iR} \\ 0 & K \end{matrix} ) und N_{i} = ( \begin{matrix}K & 0 \\ B^{iR} & K \end{matrix} ) für i = 0, …, 4. Wir rechnen

mit i in ZZ/5ZZ. N_{i} wird zum S_{i+1} − S_{i−1}-Bimodul mit der Linksmultiplikation ({d \atop 0} {f \atop e} ) ({a \atop b} {0 \atop c}) = ({da+f(b) \atop eb} {0 \atop ec}) und der entsprechenden Rechtsmultiplikation, genauer induziert (−, N_{i}) : modS_{i−1} → S_{i+1}mod eine Morita-Dualität [Krä, Prop. 6.5].

Dann ist der 10 × 10-Matrizenring R = ( \begin{matrix}S_{0} & 0 & 0 & N_{4} & 0 \\ 0 & S_{1} & 0 & 0 & N_{0} \\ N_{1} & 0 & S_{2} & 0 & 0 \\ 0 & N_{2} & 0 & S_{3} & 0 \\ 0 & 0 & N_{3} & 0 & S_{4} \end{matrix} ) ein Quasi-

Frobeniusring mit Rad^{3}R = 0. Es läßt sich zeigen, daß die Folgen

E_{i} : 0 ⟶ RadP_{i} \underrightarrow{\binom{ι}{π}} P_{i} ⊕ Rad(P_{i})_{R}/Soc(P_{i})_{R} ⟶^{(π′,−ι′)} P_{i}/Soc(P_{i})_{R} ⟶ 0

zu den projektiv-injektiven Moduln P_{i} AR-Folgen sind. Hier bezeichnen ι, π, ι′ und π′ die kanonischen Inklusionen und Projektionen. Durch iterierte Anwendung des Schleifenfunktors Ω auf E_{i} erhält man nach [Z3, Theorem 7] weitere AR-Folgen Ω^{j}E_{i} in der Kategorie modR für i = 1, …, 10 und j = 0, …, 3. Diese Folgen lassen sich wie unten zu einer endlichen Komponente C von Γ_{R} zusammensetzen. Dann ist R vom endlichen Typ und C = Γ_{R} [ARS, VI, Theorem 1.4]. Weiter sind alle Ω^{j}E_{i} sogar AR-Folgen in der Kategorie ModR [Z2, Prop. 3]. Wir deuten die Kompositionsstruktur der Moduln in indR schichtweise wie in P_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 22 \\ 7 \end{matrix}) an.

[figure: ⋯; \binom{22}{7}; (2); 1,2; (\begin{matrix}1 \\ 22 \\ 7 \end{matrix}); \binom{1}{22}; \binom{11}{222}; 2,1; 2,2; 1,3; \binom{1}{2}; (1); 3,1; (\begin{matrix}6 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}); \binom{6}{1}; \binom{66}{1}; 2,2; 1,2; 2,1; \binom{666}{1}; (6); 1,3; (\begin{matrix}5 \\ 666 \\ 1 \end{matrix}); \binom{5}{666}; \binom{5}{66}; 1,2; 3,1; 2,2; \binom{5}{6}; (5); 2,1; (\begin{matrix}10 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}); \binom{10}{5}; 1,3; ⋯]

[figure: ⋯; \binom{10}{5}; \binom{101010}{55}; 3,1; 1,2; \binom{1010}{5}; (10); 2,2; (\begin{matrix}9 \\ 1010 \\ 5 \end{matrix}); \binom{9}{1010}; \binom{9}{10}; 1,3; 2,1; 3,1; \binom{99}{10}; (9); 1,2; (\begin{matrix}4 \\ 99 \\ 10 \end{matrix}); \binom{4}{99}; \binom{44}{999}; 2,1; 2,2; 1,3; \binom{4}{9}; (4); 3,1; (\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 9 \end{matrix}); \binom{3}{4}; \binom{33}{4}; 2,2; 1,2; \binom{333}{4}; 2,1; ⋯]

[figure: ⋯; \binom{333}{4}; (3); 1,3; (\begin{matrix}8 \\ 333 \\ 4 \end{matrix}); \binom{8}{333}; \binom{8}{33}; 1,2; 3,1; 2,2; \binom{8}{3}; (8); 2,1; (\begin{matrix}7 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}); \binom{7}{8}; \binom{777}{88}; 3,1; 1,3; 1,2; \binom{77}{8}; (7); 2,2; (\begin{matrix}2 \\ 77 \\ 8 \end{matrix}); \binom{2}{77}; \binom{2}{7}; 1,3; 2,1; \binom{22}{7}; 3,1; ⋯]

Morita-Dualität und lokale Dualität

Wir zeigen in diesem Abschnitt, daß die Morita-Dualität bei artinschen PI-Ringen AR-Folgen überträgt. Zur Vorbereitung der beiden folgenden Abschnitte zerlegen wir LTr in MTr und LM für eine Morita-Dualität

M : Rmod → modS,

wobei MTr im erblichen Fall eine linksexakte Äquivalenz induziert und LM einen Isomorphismus der Grothendieckgruppen liefert.

Proposition 5 (Morita-Dualität bei PI-Ringen). Sei R artinscher PI-Ring und RQ endlich koerzeugter injektiver Kogenerator mit Endomorphismenring S.

1. M = (−,_{R}Q) : Rmod → modS ist Morita-Dualität.

2. S ist artinscher PI-Ring. S ist genau dann erblich, wenn R erblich ist.

3. M ∈ Rmod ist genau dann endoendlich, wenn MM endoendlich ist.

4. Ist E AR-Folge in RMod bestehend aus endlich erzeugten Moduln, so ist ME AR-Folge in ModS bestehend aus endlich erzeugten Moduln.

Beweis.

1. Da R beidseitig artinscher PI-Ring ist, ist nach dem Satz von Rosenberg und Zelinsky (I, Satz 5) _{R}Q endlich erzeugt, induziert also nach dem Satz von Azumaya und Morita [AF, Theorem 30.4] eine Morita-Dualität.

3. Wir zeigen zuerst die dritte Aussage. Nach dem Satz über das Duale (I, Satz 17) sind für einen Modul _{R}M endlicher Länge die Aussagen ”M_{End M} von endlicher Länge“ und ”_{End M}(_{R}M,_{R}Q) von endlicher Länge“ äquivalent, falls _{R}Q endlich koerzeugter injektiver Kogenerator ist.

2. S ist als Morita-dualer Ring rechtsartinsch und als Endomorphismenring eines endlich erzeugten Moduls über einem PI-Ring selbst PI-Ring. Nach der zweiten Aussage in I, Satz 8, (mit M = R und I = Q) ist für einen linksartinschen Ring R der injektive Kogenerator _{R}Q endoendlich. Dann ist S = M_{R}Q nach 3. linksartinsch. Mit R ist auch S ein erblicher Ring, denn wenn jeder Untermodul eines projektiven Moduls in Rmod projektiv ist, so ist jeder Faktormodul eines injektiven Moduls in modS injektiv.

4. Sei E AR-Folge in RMod bestehend aus endlich erzeugten Moduln. Dann ist die duale Folge ME AR-Folge in modS. Nach dem Dichotomiesatz für Moduln (II, Satz 5) ist der Endterm von E endoendlich. Nach 3. ist der Anfangsterm von ME endoendlich, also rein injektiv, und ME ist sogar AR-Folge in ModS [Z2, Proposition 3]. q.e.d.

Proposition 6 (Zerlegung von LTr). Sei R artinscher PI-Ring und seien M : Rmod → modS und M′ : modR → T mod Morita-Dualitäten, deren Inverse wir wieder mit M beziehungsweise M′ bezeichnen.

1. MTr : modR/P → modS/I ist Äquivalenz von Kategorien mit Inverser TrM. Ist R zusätzlich erblich, so ist MTr : mod_{P}R → mod_{I}S Äquivalenz mit Inverser TrM. Weiter erhält MTr : modR → modS Monomorphismen und solche Epimorphismen, deren Kern keinen projektiven Summanden hat.

2. LM : finS → finR erhält und reflektiert einfache, injektive und projektive Moduln und induziert einen Isomorphismus der Grothendieckgruppen

ν_{RS} : K_{0}(modS) ⟶ K_{0}(modR),

so daß für N ∈ finS gilt [LMN] = ν_{RS}[N].

3. Folgendes Diagramm kommutiert (punktweise bis auf Isomorphie).

[figure: finT; finR; M′Tr_{T}; finR; finS; MTr_{R}; L_{T} M′; L_{R}M]

4. Zu n ∈ IN gibt es artinsche PI-Ringe R = R_{0}, S = R_{1}, R_{2}, …, R_{n}, so daß für i = 0, …, n − 1 Morita-Dualitäten M : R_{i}mod → modR_{i+1} existieren. Für M ∈ finR gilt, daß (LTr)^{n}M ≅ (LM)^{n}(MTr)^{n}M ist.

Beweis.

1. Mit P bzw. I wird das kategorielle Ideal zu denjenigen Homomorphismen, die durch einen projektiven bzw. injektiven Modul faktorisieren, bezeichnet. Die Komposition der Dualitäten

Tr : modR/P ⟶ Rmod/P  und
M :  Rmod ⟶ modS

ergibt eine Äquivalenz MTr : modR/P → modS/I. Sei R zusätzlich erblich. Für M, M′ ∈ mod_{P}R ist P(M, M′) = 0 und für N, N′ ∈ mod_{I}S ist I(N, N′) = 0, also ist MTr : mod_{P}R → mod_{I}S Äquivalenz. Die dritte Behauptung folgt sofort aus der Äquivalenz der Funktoren Tr und Ext^{1}(−, R) : modR → Rmod.

2. Die Morita-Dualität bildet einfache Moduln auf einfache, projektive Moduln auf injektive und injektive Moduln auf projektive ab. Nach I, Satz 8, leistet dies auch die lokale Dualität.

Wir definieren

μ_{RS} : K_{0}(modS) ⟶ K_{0}(Rmod) und
λ_{R} : K_{0}(Rmod) ⟶ K_{0}(modR)

auf den einfachen Moduln durch μ_{RS}[\overline{fS}] = [M\overline{fS}] und λ_{R}[\overline{Re}] = [\overline{eR}]. Für N ∈ modS gilt μ_{RS}[N] = [MN] und für M ∈ Rfin gilt λ_{R}[M] = [LM] nach I, Satz 15. μ_{RS} und λ_{R} sind Gruppenisomorphismen, also auch die Komposition ν_{RS} = λ_{R}μ_{RS}.

3. Da die Abbildungen im Diagramm additiv sind und da L_{T} M′ projektive Moduln erhält und reflektiert, genügt es, die Behauptung für endoendliche Moduln C ∈ ind_{P}R zu zeigen. Die Komposition der rechten mit der oberen Abbildung bildet C auf den Anfangsterm A der AR-Folge in ModR

E : 0 ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶ 0

ab. Dies leistet auch die Komposition der linken mit der unteren Abbildung: Nach Proposition 5 ist M′E AR-Folge in T Mod, also M′C ≅ L_{T} Tr_{T} M′A. Durch Anwendung der L_{T} -Reflexivität von Tr_{T} M′A und der Dualitäten Tr_{T} und M′ erhält man, daß M′Tr_{T} L_{T} M′ C ≅ A ist.

4. Durch iterierte Anwendung von I, Satz 5, und Proposition 5 konstruiert man Ringe R = R_{0}, R_{1}, …, R_{n} und Morita-Dualitäten R_{i}mod → modR_{i+1}. In folgendem Diagramm kommutieren nach 3. die Quadrate und man liest ab, daß (LTr)^{n}M ≅ (LM)^{n}(MTr)^{n}M ist.

[figure: finR; finR; finR; finR; finR_{1}; finR_{1}; finR_{1}; finR_{2}; finR_{2}; finR_{n}; LTr; LTr; LTr; LTr; MTr; MTr; MTr; MTr; MTr; MTr; MTr; MTr; MTr; LM; LM; LM; LM; LM; LM; LM; ⋯; ⋮; ·; ·; ·]

q.e.d.

Die Form der präprojektiven Komponenten

Die präprojektiven Moduln über einem erblichen artinschen PI-Ring R sind durch ihren Dimensionsvektor in indR eindeutig bestimmt. Die Form der präprojektiven Komponenten des AR-Köchers läßt sich an der Kompositionsstruktur von R ablesen. Wir zeigen in diesem Abschnitt diese beiden für erbliche Artin-Algebren wohlbekannten Aussagen, wobei wir uns an die Vorgehensweise von [ARS, VIII, §§1 und 2] halten. Diese Ergebnisse wurden teilweise in [DR, §2] für erbliche Tensorringe mit Dualitätsbedingung gezeigt. Wo in [ARS] die Funktorialität der Dualität eingeht, können wir die lokale Dualität durch die Morita-Dualität ersetzen. Weiter wird ein Dimensionsargument durch ein homologisches Argument ersetzt. Die Polynomidentität wird hier — über das Lemma von Dowbor und Simson und den Satz über das Duale — benötigt, um die Dimensionsvektoren zu berechnen. Natürlich gelten auch die entsprechenden Aussagen für die postinjektiven Komponenten.

M ∈ indR heißt präprojektiv bzw. postinjektiv, wenn M τ-Vorgänger eines projektiven bzw. τ-Nachfolger eines injektiven Moduls in Γ_{R} ist. Eine Komponente C von Γ_{R} bezeichnet man als präprojektiv bzw. postinjektiv, wenn jeder Modul in C dies ist und wenn in C_{1} keine zyklischen Pfade existieren. Nach II, Satz 8, haben diese Komponenten AR-Folgen. C wird regulär genannt, wenn C keinen präprojektiven und keinen postinjektiven Modul enthält.

In diesem Abschnitt sei R (mindestens) ein Rechts-Moritaring. Sei E_{1}, …, E_{r} eine Transversale der einfachen R-Rechtsmoduln und seien P_{1}, …, P_{r} die projektiven und I_{1}, …, I_{r} die injektiven Moduln in indR mit \overline{P}_{i} ≅ E_{i} und SocI_{i} ≅ E_{i}. Wir bezeichnen weiter zu n ∈ IN mit fin_{P}^{n}R die Teilklassen von finR bestehend aus denjenigen Moduln M, für die kein (LTr)^{i}M für 0 ≤ i ≤ n − 1 einen projektiven direkten Summanden hat. Wie in [ARS, VIII, Lemma 2.1] zeigt man:

Lemma 7. Hat ein Rechts-Moritaring R endliche globale Dimension, so bilden {[P_{i}] : i = 1, … r} und {[I_{i}] : i = 1, … r} jeweils eine Basis von K_{0}(modR).

q.e.d.

Definition. Die Coxeter-Transformation c : K_{0}(modR) → K_{0}(modR) sei der durch [P_{i}] ↦ −[I_{i}] = −[LP_{i}^{∗}] für i = 1, …, r definierte Gruppenisomorphismus.

Proposition 8. Sei R erblicher artinscher PI-Ring mit Coxeter-Transforma-tion c und Morita-Dualität M : Rmod → modS.

1. c[M] = ν_{RS}[MTrM] − ν_{RS}[MM^{∗}] für M ∈ modR.

2. c[M] = [LTrM] − [LM^{∗}] für M ∈ finR.

3. c[M] = ν_{RS}[MTrM] für M ∈ ind_{P}R.

4. c[M] ist für M ∈ indR entweder positiv oder negativ; c[M] ist genau dann negativ, wenn M projektiv ist.

Beweis. Wir führen nur den Beweis von 1. aus, der bis auf die kanonischen Modifikationen aus [ARS, VIII, Prop. 2.2] übernommen ist. 2. folgt mit Proposition 6; 3. und 4. ergeben sich direkt aus 1.

Aus einer endlichen projektiven Präsentation F : 0 → Q → P → M → 0 erhält man durch Anwendung der Funktoren ∗ = (−, R) und M die exakte Folge

0 ⟶ MExt^{1}(M, R) ⟶ MQ^{∗} ⟶ MP^{∗} ⟶ MM^{∗} ⟶ 0.

Da die Funktoren Ext^{1}(−, R) und Tr : modR → Rmod äquivalent sind, gilt in K_{0}(modS): [MTrM] − [MM^{∗}] = [MQ^{∗}] − [MP^{∗}]. Anwendung des Isomorphismus ν_{RS} ergibt mit 2. in Proposition 6

ν_{RS}[MTrM] − ν_{RS}[MM^{∗}] = ν_{RS}[MQ^{∗}] − ν_{RS}[MP^{∗}]
= [LMMQ^{∗}] − [LMMP^{∗}]
= − c[Q] + c[P] = c[M].

q.e.d.

Folgerung 9. Unzerlegbare projektive Moduln über einem erblichen artinschen Ring sind durch ihren Dimensionsvektor in indR eindeutig bestimmt.

Beweis. Seien M, N ∈ indR mit [M] = [N] und N projektiv. Im PI-Fall ist M nach Proposition 8 projektiv. Mit F wie in Proposition 8 und F^{∗} : 0 → M^{∗} → P^{∗} → Q^{∗} → Ext^{1}(M, R) → 0 läßt sich die Projektivität von M auch ohne die PI-Eigenschaft zeigen: Aus [P] = [Q] + [M] in K_{0}(modR) folgt, daß P ≅ Q ⊕ N und damit P^{∗} ≅ Q^{∗} ⊕ N^{∗} ist, also ist aus Längengründen M^{∗} ≠ 0 und M projektiv. Weil [M] = [N] ist, enthält M einen Kompositionsfaktor, der zu \overline{N} isomorph ist, und es gibt einen Homomorphismus ≠ 0 von N nach M, der ein Isomorphismus ist, da R erblich ist. q.e.d.

Proposition 10. Sei R erblicher artinscher PI-Ring und n ∈ IN. Es gibt nach Proposition 5 erbliche artinsche PI-Ringe R = R_{0}, R_{1}, …, R_{n} mit Morita-Dualitäten M : R_{i}mod → modR_{i+1}. Die Coxetertransformationen seien mit c = c_{0}, …, c_{n} bezeichnet.

1. Sei M ∈ indR. Ist keiner der Moduln M, MTrM,...,(MTr)^{n−1}M projektiv, so gilt c^{n}[M] = ν_{R_{0}R_{1}} ⋯ ν_{R_{n−1}R_{n}}[(MTr)^{n}M].

2. Für M ∈ fin_{P}^{n}R gilt c^{n}[M] = [(LTr)^{n}M].

Beweis.

1. Es gilt ν_{R_{i}R_{i+1}}c_{i+1} = c_{i}ν_{R_{i}R_{i+1}}, denn für einen projektiven Modul P ∈ indR_{i+1} ist

\begin{aligned}ν_{R_{i}R_{i+1}}c_{i+1}[P] & = & −ν_{R_{i}R_{i+1}}[L_{i+1}P^{∗}] = −[L_{i}ML_{i+1}P^{∗}] \\ c_{i}ν_{R_{i}R_{i+1}}[P] & = & c_{i}[L_{i}MP] = −[L_{i}(L_{i}MP)^{∗}] \end{aligned}

dabei sind ML_{i+1}P^{∗} und (L_{i}MP)^{∗} isomorph, denn beide Moduln sind unzerlegbar projektiv mit Radikalfaktor M\overline{P}. Aus 3. in Proposition 8 folgt:

c_{0}^{n}[M] = c_{0}^{n−1}ν_{R_{0}R_{1}}[MTrM] = ν_{R_{0}R_{1}}c_{1}^{n−1}[MTrM]
= ⋯ = ν_{R_{0}R_{1}} ⋯ ν_{R_{n−1}R_{n}}[(MTr)^{n}M].

2. Nach 2. in Proposition 8 ist c^{n}[M] = c^{n−1}[LTrM] = … = [(LTr)^{n}M].q.e.d.

Folgerung 11 (Präprojektive Moduln sind durch ihren Dimensionsvektor eindeutig bestimmt). Sei R erblicher artinscher PI-Ring und seien M, N ∈ indR mit [M] = [N] in K_{0}(modR).

1. M ist genau dann präprojektiv, wenn c^{n}[M] negativ ist für ein n ∈ IN.

2. Ist M präprojektiv, so gilt M ≅ N.

Beweis.

1. M ist genau dann präprojektiv, wenn M ∈ finR und (LTr)^{m}M projektiv ist für ein m ∈ IN. Nach Proposition 10 ist c^{m+1}[M] negativ. Für die Umkehrung nehmen wir an, daß m die kleinste Zahl ist, so daß c^{m+1}[M] negativ ist. Nach Proposition 10 ist c^{m}[M] = ν_{R_{0}R_{1}} ⋯ ν_{R_{m−1}R_{m}}[(MTr)^{m}M] Dimensionsvektor eines projektiven R_{0}-Moduls, denn (MTr)^{m}M ∈ indR_{m} ist projektiv, weil c[(MTr)^{m}M] negativ ist.

2. Sei wieder m minimal, so daß c^{m+1}[M] negativ ist. Wie in 1. sind (MTr)^{m}M und (MTr)^{m}N unzerlegbar projektiv mit gleichem Dimensionsvektor. Nach Folgerung 9 sind sie isomorph. Da MTr Äquivalenz ist, folgt M ≅ N.

q.e.d.

Sei R erblicher artinscher PI-Ring. Für M ∈ indR setzt man p(M) = m, falls m ∈ IN_{0} die kleinste Zahl ist, so daß c^{m+1}[M] negativ ist. Falls kein solches m existiert, wird p(M) = ∞ gesetzt. Ist p(M) endlich, so bezeichnet man den projektiven Modul in indR, der zu (LTr)^{p(M)}M isomorph ist, mit P(M). Mit p und P lassen sich die Moduln in den präprojektiven Komponenten und die irreduziblen Morphismen zwischen ihnen mit den beiden folgenden Aussagen kombinatorisch beschreiben.

Proposition 12. Sei R erblicher artinscher PI-Ring. Eine Komponente C von Γ_{R}, die einen projektiven Modul enthält, ist präprojektiv.

Beweis. Genauer gilt wie bei Artin-Algebren: Seien M und N ∈ indR, M präprojektiv und m = p(M). Ist M → N irreduzibel, gilt p(N) ∈ {m, m + 1}; ist N → M irreduzibel, gilt p(N) ∈ {m−1, m}. Dies schließt man durch iterierte Anwendung von II, Satz 6, — wie wir im Beweis von II, Satz 8, vorgeführt haben — daraus, daß es keine irreduziblen Morphismen von einem nicht-projektiven Modul in einen projektiven Modul gibt. Weiter kann es keinen orientierten Zykel M_{0} → M_{1} → ⋯ → M_{n} irreduzibler Morphismen zwischen präprojektiven Moduln M_{i} geben, denn sonst wäre p(M_{1}) = p(M_{2}) = ⋯ = p(M_{n}), und man könnte wie eben einen orientierten Zykel irreduzibler Morphismen zwischen projektiven Moduln konstruieren. q.e.d.

Proposition 13. Sei R erblicher artinscher PI-Ring und C die Vereinigung der präprojektiven Komponenten von Γ_{R}. Zu dem bewerteten Köcher Δ = (Δ_{0}, Δ_{1}, d, d′), der sich aus der Kompositionsstruktur der projektiven R-Rechts- und R-Linksmoduln ablesen läßt,

Δ_{0} = {P ∈ indR : P projektiv},
Δ_{1} = {P → Q ∈ Δ_{0} × Δ_{0} : P_{⊕}|RadQ},
d_{Δ}(P → Q) = max{n ∈ IN : P^{n}_{⊕}|RadQ},
d′_{Δ}(P → Q) = max{m ∈ IN : (Q^{∗})^{m}_{⊕}|RadP^{∗}},

erhält man einen injektiven Morphismus von bewerteten Translationsköchern

β : C ⟶ IN_{0}Δ ⊂ ZZΔ, M ⟼ (p(M), P(M)).

Beweis.

1. Da es in Δ keine Schlaufen gibt, sind ZZΔ und der volle Unterköcher IN_{0}Δ homogen bewertete Translationsköcher.

2. Nach Proposition 12 ist jeder Modul in C präprojektiv, also ist nach Folgerung 11 jeder Modul M ∈ C durch p(M) und P(M) eindeutig bestimmt. Insbesondere ist β : C_{0} → (IN_{0}Δ)_{0} injektive Abbildung.

3. Es gibt genau dann einen irreduziblen Morphismus M → N in C, wenn entweder p(M) = p(N) ist und es einen irreduziblen Morphismus P(M) → P(N) gibt oder p(M) = p(N) − 1 ist und es einen irreduziblen Morphismus P(N) → P(M) gibt. Dies sieht man leicht mit der im Beweis von Proposition 12 angewandten Methode. Offensichtlich ist dann β : C → IN_{0}Δ ein Morphismus von Translationsköchern und Biβ ein voller Unterköcher von IN_{0}Δ.

4. Da C und IN_{0}Δ beide homogen bewertet sind, genügt es zu zeigen, daß β die Bewertungen der Pfeile zwischen projektiven Moduln überträgt. Nach dem Beispiel auf Seite 41 gilt das für die Bewertung d. Es bleibt zu zeigen, daß β für diese Pfeile d′ überträgt.

5. Dazu überlegen wir uns allgemeiner, daß ein Homomorphismus p : P → Q zwischen endlich erzeugten projektiven Moduln genau dann irreduzibel ist, wenn p^{∗} irreduzibel ist. Die Dualität ∗ zwischen den vollen Unterkategorien von modR bzw. Rmod zu den projektiven Moduln erhält und reflektiert zerfallende Homomorphismen. Insbesondere zerfällt p genau dann, wenn p^{∗} zerfällt (I1). Wir weisen die Eigenschaft (I2) in der Dann-Wenn-Richtung nach; ebenso zeigt man die Umkehrung. Sei Y ∈ RMod, p^{∗} = gh mit g : Q^{∗} → Y und h : Y → P^{∗}. Setze g′ = gh : Q^{∗} → Bih und h′ : Bih → P^{∗}. Weil R erblicher Ring ist, ist Bih projektiv. Mit p ist auch p^{∗∗} irreduzibel, also zerfällt g^{′∗} oder h^{′∗}. Damit ist h′ zerfallender Epimorphismus oder g′ zerfallender Monomorphismus. Dann ist auch h zerfallender Epimorphismus oder g zerfallender Monomorphismus und (I2) ist gezeigt. q.e.d.

Reguläre weiße Komponenten sind quasi-einreihig

Ringel [R1] und Auslander, Bautista, Platzeck, Reiten und Smalø [ABPRS] haben gezeigt, daß die regulären Komponenten einer erblichen Artin-Algebra R quasi-einreihig sind. Schon bei erblichen artinschen PI-Ringen können reguläre Komponenten auftauchen, in denen nicht zu jedem Modul AR-Folgen existieren. Gibt es aber AR-Folgen, so ist der AR-Köcher sogar quasi-einreihig, wie wir das von Artin-Algebren her kennen.

Satz 14 (Form der regulären weißen Komponenten im erblichen Fall). Sei R erblicher artinscher PI-Ring und C eine Komponente von Γ_{R}, die keinen projektiven oder injektiven Modul enthält. Falls C AR-Folgen hat, ist C quasi-einreihig.

Motivation vom kategoriellen Standpunkt. Sei C quasi-einreihige Komponente und M ∈ C. Eine schöne Beschreibung des Trägers des Funktors (M, −)/rad^{∞}(M, −) erhält man mit den relativen präprojektiven Zerlegungen von Betzler [Be, insbesondere Satz 3.5.17]: Ein Funktor F : modR → Ab definiert eine Klasse von Morphismen in modR, nämlich {f : F f ist Epimorphismus in Ab}, die sich wie die Epimorphismen in modR verhalten und eine präprojektive Zerlegung (P_{i}^{F})_{i∈IN} relativ F definieren. Ist C quasi-einreihige Komponente, M ∈ C und F = (M, −) so befinden sich die Moduln in ⋃_{i∈IN} P_{i}^{F} in einem nach rechts oben offenen Streifen in C, der wie im Bild durch M eindeutig bestimmt ist.

[figure: M; ⋮; ⋯; ⋯]

Ist C eine Röhre, deren Durchmesser kleiner als die Quasi-Länge von M ist, so überdeckt sich der Streifen teilweise selbst. In jedem Fall haben dabei die Moduln in der n-ten Schicht P_{n}^{F} irreduziblen Abstand n von M. Es gilt

supp rad^{n}(M, −)/rad^{n+1}(M, −) = P_{n}^{(M,−)},

insbesondere ist supp(M, −)/rad^{∞}(M, −) = ⋃_{n∈IN_{0}} P_{n}^{(M,−)}. Ist speziell M quasieinfach, so liegen die Moduln in supp(M, −)/rad^{∞}(M, −) auf einem Strahl und der Funktor (M, −)/rad^{∞}(M, −) ist einreihig.

Wir können den Beweis des Theorems in [R2] verwenden, um folgendes Kriterium für Quasi-Einreihigkeit zu erhalten.

Satz 15 (Test für quasi-einreihig). Sei R rechtsartinscher Ring und C eine reguläre homogen bewertete Komponente von Γ_{R} oder von γ_{R} mit AR-Folgen in ModR bzw. modR. Gelte

(L) \{ \begin{matrix}Für i ∈ IN und jeden Monomorphismus f : X → Y^{m}, so daß \\ entweder X und Y auf einer τ-Bahn in C liegen \\ oder i = m = 1 ist und f irreduzibler Morphismus in C ist, \\ sei Lä τ^{i}X ≤ m · Lä τ^{i}Y. \end{matrix}

Dann ist C quasi-einreihig.

An der kritischen Stelle des Beweises treten Sterne auf:

Definition. Ein endlicher bewerteter Köcher Δ = (Δ_{0}, Δ_{1}, d, d′) heißt Stern mit Zentrum z ∈ Δ_{0}, wenn der zugrunde liegende Graph (Δ_{0}, Δ_{1}) ein Stern mit Zentrum z ist und für alle α : x → y ∈ Δ_{1} gilt

d(α) = 1, falls y ≠ z, und d′(α) = 1, falls x ≠ z.

Man nennt ∑_{{α:z(α)=z}} d(α) + ∑_{{α:q(α)=z}} d′(α) die Zahl der Strahlen von Δ. Der Name ist Programm: Sterne mit nicht-trivial bewerteten Strahlen werden wie Sterne mit einer entsprechend größeren Anzahl von trivial bewerteten Strahlen behandelt. Beispielsweise haben folgende Sterne je drei Strahlen.

[figure: z; z; 1,2]

Beweis.

1. Nach dem Struktursatz von Riedtmann [Rie] gibt es einen Baum Δ und eine Überlagerung π : ZZΔ → C von Translationsköchern. Durch Zurückziehen der Bewertung von C mittels π erhält man eine Bewertung von ZZΔ. Da C homogen bewertet ist, ist die dadurch auf ZZΔ erhaltene Bewertung ebenfalls homogen. Dann gibt es eine Bewertung auf Δ, die diese Bewertung auf ZZΔ induziert.

2. Wir verifizieren, daß die Voraussetzungen eines kombinatorischen Ergebnisses erfüllt sind.

Die Funktion ℓ : ZZΔ → IN, x ↦ Lä M_{R} für M = π(x), ist

• additiv, d. h. für y ∈ ZZΔ_{0} gilt ℓ(y)+ℓ(τy) = ∑_{x∈y^{−}} d(x, y)·ℓ(x), denn es gibt eine kurze exakte Folge 0 → πτy → ∐_{x∈y^{−}}(πx)^{d(x,y)} → πy → 0 in modR,

• strikt, d. h. für x → y ∈ ZZΔ_{1} gilt ℓ(x) ≠ ℓ(y), denn zu M = πx und N = πy gibt es einen irreduziblen Morphismus, der ja echter Monomorphismus oder echter Epimorphismus ist,

• und monoton, d. h. für x → y ∈ ZZΔ_{1} mit ℓ(x) ≤ ℓ(y) gilt ℓ(τx) ≤ ℓ(τy), denn wir haben Voraussetzung (L).

Nach der Proposition in [R2] sind für einen zusammenhängenden bewerteten Köcher Δ folgende Aussagen äquivalent.

i) Es gibt eine additive, strikte und monotone Funktion ℓ : ZZΔ → IN.

ii) Δ ist A_{∞} oder ein Stern, aber kein Dynkin-Diagramm.

3. Es bleibt der Stern auszuschließen. Angenommen, Δ ist ein Stern mit Zentrum z und n Strahlen. Sei M_{i} = π(i, z) für i ∈ ZZ.

Um zu zeigen, daß den Pfeilen, die in M_{i} enden, irreduzible Monomorphismen entsprechen, geben wir zu einem der obigen Sterne Δ den Köcher ZZΔ an, wobei wir an einigen Punkten (i, y) schon π(i, y) eintragen.

[figure: M_{−1}; M_{0}; M_{1}; M_{2}; B_{11}; B_{12}; B_{13}; α_{2}; α_{1}; α_{0}; ⋯; ⋯]

Den Pfeilen α_{0}, deren Quelle Randpunkt von ZZΔ ist, entspricht offensichtlich ein irreduzibler Monomophismus a_{0} in C. Sind α_{i} und α_{i+1} wie im Diagramm und entsprechen diesen Pfeilen irreduzible Morphismen a_{i} bzw. a_{i+1}, so hat man folgende AR-Folge in C.

0 ⟶ π(q(α_{i+1})) \underrightarrow{\binom{a_{i+1}}{∗}} π(z(α_{i+1})) ⊕ π(q(α_{i})) ⟶^{(∗, a_{i})} π(z(α_{i})) ⟶ 0

Aus Längengründen ist mit a_{i} auch a_{i+1} irreduzibler Monomorphismus in C.

Zu einer AR-Folge

0 ⟶ M_{i−1} ⟶ ∐_{j=1}^{n} B_{ij} ⟶ M_{i} ⟶ 0,

in der die unzerlegbaren Summanden B_{ij} des Mittelterms mit der durch den Stern vorgegebenen Vielfachheit auftreten, erhält man also Monomorphismen f_{i} : M_{i−1} → M_{i}^{n} und damit Monomorphismen g_{i} = f_{i} ⋯ f_{1} : M_{0} → M_{i}^{(n^{i})}. Ist m = Lä (M_{0}), so gibt es aus Längengründen Monomorphismen h_{i} : M_{0} → M_{i}^{m}. Nach Voraussetzung (L) gilt Lä M_{−i} ≤ m · Lä M_{0} = m^{2}. Also gilt für alle x ∈ ZZΔ links von (0, z), daß ℓ(x) ≤ m^{2} ist, und wir erhalten wie in [MaR] einen Widerspruch:

4. Sei p : P → M_{0} ein Homomorphismus ≠ 0 von einem projektiven unzerlegbaren Modul. Durch iterierte Anwendung der Faktorisierungseigenschaft von Senkenabbildungen wie auf Seite 55 erhält man zu jedem t ∈ IN irreduzible Morphismen a_{jk} in C mit 1 ≤ k ≤ t und 1 ≤ j ≤ l_{t}, und Homomorphismen p_{1}, …, p_{l_{t}} mit Quelle P, so daß p = ∑_{j=1}^{l_{t}} a_{j1} ⋯ a_{jt} p_{j} ist. Insbesondere ist zu t = 2^{(m^{2})} − 1 eine Komposition von t Nicht-Isomorphismen zwischen Moduln der Länge ≤ m^{2} nicht Null, was nach dem Lemma von Harada/Sai [ARS, VI, Cor. 1.3] ausgeschlossen ist. q.e.d.

Zum Beweis von Satz 14 weisen wir noch Bedingung (L) nach.

Lemma 16 (LTr schwach linksexakt). Sei R erblicher artinscher PI-Ring, n ∈ IN und X, Y, Z ∈ finR. Ist f : X → Y Monomorphismus und g : Y → Z Epimorphismus mit Kerg ∈ fin_{P}^{n}R, so gilt in K_{0}(modR):

\underline{dim} (LTr)^{n}X ≤ \underline{dim} (LTr)^{n}Y und \underline{dim} (LTr)^{n}Y ≥ \underline{dim} (LTr)^{n}Z.

Beweis. Wir verwenden Ergebnisse und Bezeichnungen aus Proposition 6. Für X′ = Kerg ∈ fin_{P}^{n}R hat kein (MTr)^{i}X′ für i = 0, …, n − 1 einen projektiven Summanden, denn sonst gäbe es nach 2. und 4. ein i, so daß (LTr)^{i}X′ ≅ (LM)^{i}(MTr)^{i}X′ einen projektiven Summanden besitzt. Durch iterierte Anwendung von 1. erhält man, daß (MTr)^{n}f Monomorphismus und (MTr)^{n}g Epimorphismus ist. Nach 2. erhält LM einfache Moduln und induziert einen Isomorphismus der Grothendieckgruppen, also folgt die Behauptung mit dem Isomorphismus (LTr)^{n}X ≅ (LM)^{n}(MTr)^{n}X in 4. q.e.d.

Es bleibt noch Satz 14 zu zeigen.

Beweis. Nach Voraussetzung ist der Köcher C zusammenhängender τ-stabiler Translationsköcher. In Folgerung 4 wurde gezeigt, daß C homogen bewertet ist. Nach Lemma 16 ist Bedingung (L) erfüllt und Satz 15 liefert die Behauptung.

q.e.d.

Zum Abschluß veranschaulichen wir die Ergebnisse des dritten Kapitels durch zwei Beispiele.

Beispiel mit AR-Folgen in der Kategorie modR. Zimmermann untersuchte in [Z3] folgenden erblichen artinschen PI-Ring. Sei K der Körper der formalen Laurent-Reihen in einer Variablen über einem Körper der Charakteristik 0, sei δ : K → K die formale Ableitung und B = K ⊕ K der K − K-Bimodul mit Multiplikation

a(b, b′) = (ab, ab′) und (b, b′)c = (bc, b′c + bδ(c))

für a, b, b′, c ∈ K. Setze R = ( \begin{matrix}K & B \\ 0 & K \end{matrix} ). Der Darstellungsköcher Γ_{R} hat die

Form:

[figure: \binom{1}{2}; \binom{0}{1}; \binom{3}{4}; \binom{2}{3}; \binom{4}{5}; ⋯; ^{^{\binom{n}{n}}^{\binom{2n}{2n}}^{\binom{3n}{3n}}^{\binom{4n}{4n}}  ^{\binom{n′}{n′}}^{\binom{2n′}{2n′}}^{\binom{3n′}{3n′}}^{\binom{4n′}{4n′}}}; ⋮; ⋮; ∞ ∞ ∞; ∞ ∞ ∞; \binom{m}{m}; \binom{2m}{2m}; \binom{3m}{3m}; ...; ⋯; \binom{1}{0}; \binom{2}{1}; \binom{3}{2}; \binom{4}{3}; \binom{5}{4}; ⋯]

präprojektive Komponente Familien von Röhren und τ-isolierten Komponenten

postinjektive Komponente

Die Besonderheit an diesem Beispiel ist, daß zu jedem regulären Modul M ∈ indR – insbesondere also zu den schwarzen Moduln – eine AR-Folge in der Kategorie modR

E : 0 ⟶ M ⟶ B ⟶ M ⟶ 0

existiert. M ist genau dann endoendlich, wenn E sogar AR-Folge in der Kategorie ModR ist.

Nach Satz 15 treten diese Moduln M ∈ indR in γ_{R} in quasi-einreihigen Komponenten, genauer in Röhren vom Durchmesser 1, auf. Der AR-Köcher γ_{R} von modR hat damit die klassische Gestalt.

Beispiel. Wir konstruieren einen erblichen artinschen PI-Ring R mit Gabriel-

Köcher [figure: 3; 1; 1,2; 2] . Sei α : K → K wie im Beispiel auf Seite 47 (Bemerkung 2)

Körpermonomorphismus mit dim_{Biα}K = 2. R = ( \begin{matrix}K & K & _{α}K ⊕ K \\ 0 & K & K \\ 0 & 0 & K \end{matrix} ) läßt sich

als Matrizenring R = ( \begin{matrix}S & B \\ 0 & T \end{matrix} ) mit S = K, T = ( \begin{matrix}K & K \\ 0 & K \end{matrix} ), B = (K, K ⊕_{α}K)

und der Multiplikation

s(b, (b′, b′′)) = (sb, (α(s)b′, sb′′)) und (b, (b′, b′′)) ({u \atop 0} {w \atop v} ) = (bu, (b′v, b′′v + bw))

für s ∈ S, (b, (b′, b′′)) ∈ B und ({u \atop 0} {w \atop v} ) ∈ T schreiben.

Die präprojektive Komponente von Γ_{R} hat folgende Form; dabei sind die Moduln durch ihren Dimensionsvektor in indR eindeutig bestimmt (Folgerung 11 und Proposition 13).

[figure: 1,2; 1,2; 1,2; 2,1; 2,1; (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}); (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}3 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}); (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}4 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}); (\begin{matrix}9 \\ 10 \\ 15 \end{matrix}); (\begin{matrix}10 \\ 12 \\ 17 \end{matrix}); (\begin{matrix}15 \\ 17 \\ 25 \end{matrix}); ⋯]

Entsprechend hat die postinjektive Komponente folgende Gestalt.

[figure: 1,2; 1,2; 1,2; 2,1; 2,1; ^{(\begin{matrix}25 \\ 13 \\ 10 \end{matrix})} ^{(\begin{matrix}13 \\ 8 \\ 5 \end{matrix})} (\begin{matrix}10 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) ^{(\begin{matrix}8 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})} ^{(\begin{matrix}5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})} (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) ^{(\begin{matrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})} ^{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})} (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); ⋯]

Wir überlegen uns, daß alle τ-stabilen Komponenten vom Typ ZZA_{∞} sind: Das charakteristische Polynom χ_{c} der Coxeter-Matrix

χ_{c} = x^{3} − 2x^{2} − 3x + 1 mit c = ( \begin{matrix}3 & 2 & −3 \\ 2 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

hat drei reelle Nullstellen, von denen keine Betrag 1 hat. Damit kann es keine τ-periodischen Dimensionsvektoren in Γ_{R} geben.

Wir bestimmen alle Komponenten, die einen Modul vom Dimensionsvektor (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

enthalten. Obwohl es zwei weiße Moduln in ind^{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )}R gibt, sind deren Komponenten durch die Dimensionsvektoren ihrer Moduln eindeutig bestimmt.

Die Moduln in ind^{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )}R sind — ähnlich wie die Moduln in ind^{\binom{1}{1}}R im Beispiel auf Seite 45 — gegeben durch Homomorphismen P_{3} → P_{1}. Wie dort gibt es genau zwei weiße Moduln, einen der Endolänge 3 und einen der Endolänge 4 und, da das Zentrum von R unendlich ist, unendlich viele schwarze Moduln vom betrachteten Dimensionstyp.

Da MTr schwarze Moduln auf schwarze Moduln abbildet und M einen Isomorphismus der Zentren induziert, gibt es jeweils unendlich viele schwarze Moduln mit folgenden Dimensionsvektoren.

[figure: ^{∞  ^{(\begin{matrix}5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}  ∞}; ^{∞  ^{(\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}  ∞}; ^{∞  ^{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}  ∞}; ^{∞  ^{(\begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})}  ∞}; ^{∞  ^{(\begin{matrix}6 \\ 7 \\ 10 \end{matrix})}  ∞}; ·; ·; ·; ·; ·; ·]

Die Komponente, die den weißen Modul mit Dimensionsvektor (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) und Endolänge 4 enthält, hat folgende Form (Satz 14).

[figure: (\begin{matrix}3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}18 \\ 8 \\ 7 \end{matrix}); (\begin{matrix}5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}7 \\ 7 \\ 11 \end{matrix}); (\begin{matrix}6 \\ 7 \\ 10 \end{matrix}); ⋯; ⋯; ⋮]

Die Komponente, die den weißen Modul mit Dimensionsvektor (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) und Endolänge 3 enthält, hat folgende Gestalt.

[figure: (\begin{matrix}5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}22 \\ 12 \\ 9 \end{matrix}); (\begin{matrix}8 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}); (\begin{matrix}7 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix}5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}); (\begin{matrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}); (\begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix}9 \\ 10 \\ 14 \end{matrix}); (\begin{matrix}8 \\ 9 \\ 13 \end{matrix}); (\begin{matrix}6 \\ 7 \\ 10 \end{matrix}); (\begin{matrix}29 \\ 33 \\ 48 \end{matrix}); (\begin{matrix}27 \\ 31 \\ 45 \end{matrix}); ⋯; ⋯; ⋮]

Die Cartan-Matrix von R ist nach [ARS, VIII, Prop. 6.4] nicht symmetrisierbar. Damit lassen sich die weißen Komponenten des Auslander-Reiten-Köchers von R nicht durch eine Artin-Algebra realisieren.

Literatur

[Am] S. A. Amitsur, Polynomial identities, Israel J. Math. 19 (1974), 183-199.

[AF] F. W. Anderson und K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2^{nd} edition, Graduate texts in mathematics 13, Springer Heidelberg 1992.

[Ang] L. Angeleri Hügel, Almost split sequences arising from the preprojective partition, preprint (1995), 1-17.

[A2] M. Auslander, Representation theory of Artin algebras II, Comm. Alg. 1 (1974), 269-310.

[AR3] M. Auslander und I. Reiten, Representation theory of Artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Alg. 3 (1975), 239-294.

[AR4] M. Auslander und I. Reiten, Representation theory of Artin algebras IV. Invariants given by almost split sequences, Comm. Alg. 5 (1977), 443-518.

[A3] M. Auslander, Large modules over Artin algebras, Algebra, Topology and Categories, Academic press, New York 1976.

[A4] M. Auslander, Functors and morphisms determined by objects, in: Representation theory of algebras, Proc. Conf. Philadelphia, New York 1978, 1-244.

[ABPRS] M. Auslander, R. Bautista, M. I. Platzeck, I. Reiten und S. O. Smalø, Almost split sequences whose middle term has at most two indecomposable summands, Canad. J. Math. 31 (1979), 942-960.

[ARS] M. Auslander, I. Reiten und S. O. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge studies in advanced mathematics 36, Cambridge 1995.

[Be] R. Betzler, Relative präprojektive Zerlegungen, Diss. Univ. München (1993).

[Bj] J.-E. Björk, Rings satisfying a minimum condition on principal ideals, Crelle J. 236 (1969), 112-119.

[C] P. M. Cohn, Skew field constructions, Lond. Math. Soc. Lect. Notes Series 27, Cambridge 1977.

[CB] W. Crawley-Boevey, Modules of finite length over their endomorphism rings, in: Representation theory of algebras and related topics, Lond. Math. Soc. Lect. Notes Series 168, Cambridge 1992.

[D] M. Dehn, Über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme, Math. Ann. 85 (1922), 184-194.

[DR] V. Dlab und C. M. Ringel, Indecomposable representations of graphs and algebras, Mem. AMS 173 (1976), 1-57.

[DRS] P. Dowbor, C. M. Ringel und D. Simson, Hereditary artinian rings of finite representation type, Lecture Notes in Math. 832 (1980), 232-241.

[DS] P. Dowbor und D. Simson, Quasi-artin species and rings of finite representation type, J. Alg. 63 (1980), 435-443.

[GJ] L. Gruson und C. U. Jensen, Deux applications de la notion de Ldimension, C. R. Acad. Sci. Paris Ser A-B 282: A23-24 (1976).

[H] I. Herzog, A test for finite representation type, J. pure appl. Alg. 95 (1994), 151-182.

[IT] K. Igusa und G. Todorov, Radical layers of representable functors, J. Alg. 89 (1984), 105-147.

[J] N. Jacobson, Lectures in abstract algebra II: Linear algebra, Van Nostrand, Princeton 1953.

[JL] C. U. Jensen und H. Lenzing, Model theoretic algebra, Algebra, logic and applications 2, Gordon and Breach, New York (1989).

[Kap] I. Kaplansky, Rings with a polynomial identity, Bull. AMS 54 (1948), 575-580.

[K] F. Kasch, Moduln und Ringe, Mathematische Leitfäden, Teubner Stuttgart 1977.

[Krä] J. Krämer, Characterisations of the existence of (quasi-)self-duality for complete tensor rings, Alg. Ber. 56, Fischer München 1987.

[Kr] H. Krause, Dualizing rings and a characterisation of finite representation type, preprint (1995), 1-5.

[MR] J. C. McConnell und J. C. Robson, Noncommutative noetherian rings, Wiley 1987.

[MaR] E. Marmolejo und C. M. Ringel, Modules of bounded length in Auslander-Reiten components, Arch. Math. 50 (1988), 128-133.

[MV] R. Martinez-Villa, Algebras stably equivalent to ℓ-hereditary, Proc. Conf. Ottawa in Lecture Notes in Math. 832 (1979), 396-431.

[P] M. Prest, Model theory and modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series 130, Cambridge 1988.

[PS] C. Procesi und L. Small, Endomorphism-rings of modules over PIalgebras, Math. Z. 106 (1968), 178-180.

[Rie] Ch. Riedtmann, Algebren, Darstellungsköcher, Überlagerungen und zurück, Comm. Math. Helv. 55 (1980), 199-224.

[RT] C. M. Ringel und H. Tachikawa, QF3-rings, Crelle J. 272 (1975), 49-72.

[R1] C. M. Ringel, Finite dimensional hereditary algebras of wild representation type, Math. Z. 161 (1978), 235-255.

[R2] C. M. Ringel, The regular components of the Auslander-Reiten quiver of a tilted algebra, Chinese Ann. Math. Vol. 9, Ser. B, No. 1 (1988), 1-18.

[RZ] A. Rosenberg und D. Zelinsky, On the finiteness of the injective hull, Math. Z. 70 (1959), 372-380.

[S] A. H. Schofield, Representations of rings over skewfields, London Math. Soc. Lecture Notes Series 92, Cambridge 1985

[V] H. Valenta, Kippmoduln über artinschen Ringen, Diss. Univ. München (1990).

[W] R. B. Warfield, Jr., Serial rings and finitely presented modules, J. Alg. 37 (1975), 187-222.

[Z1] W. Zimmermann, Rein-injektive direkte Summen von Moduln, Comm. Alg. 5 (1977), 1083-1117.

[Z2] W. Zimmermann, Existenz von Auslander-Reiten Folgen, Arch. Math. 40 (1983), 40-49.

[Z3] W. Zimmermann, Auslander-Reiten sequences over artinian rings, J. Alg. 119 (1988), 366-92.

[ZHZ] B. Zimmermann-Huisgen und W. Zimmermann, On the sparsity of representations of rings of pure global dimension zero, Trans. AMS 320 (1990), 695-711.

Lebenslauf

Markus Schmidmeier, geboren am 30. Mai 1963 in München

Schule

1969 – 73  Grundschule in Deisenhofen bei München
1973 – 82  Gymnasium Unterhaching
Juni 1982  Abschluß: Abitur
1982 – 83  Wehrpflicht

Diplomstudium

WS 1983/84 – SS 1987 Studium der Mathematik mit Nebenfach

Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie an der Universität München

WS 1987/88 – SS 1988 Studium der Mathematik

an der Universität Warwick/England

September 1988  Abschluß: Master of Science
WS 1988/89 – WS 1991/92 Fortsetzung des Studiums in München
November 1991  Abschluß: Diplom

Titel der Arbeit: ”Über die Darstellungen kleiner Quasi-Frobeniusringe“

Promotionsstudium

WS 1991/92 – WS 1995/96 Erstellung der vorliegenden Dissertation

an der Universität München

Mai 1995 – Sept. 1995  Gastaufenthalt am Sonderforschungsbereich

”Diskrete Strukturen in der Mathematik“ an der Universität Bielefeld